int_0^((3π)/4) |cosx | dx =?  

সমাধান:

আমরা জানি, \(|cosx|\) একটি পরম মান ফাংশন। এর মান \(\frac{\pi}{2}\) এর মধ্যে ধনাত্মক এবং \(\frac{\pi}{2}\) থেকে \(\frac{3\pi}{4}\) এর মধ্যে ঋণাত্মক হতে পারে, কিন্তু পরম মান নেওয়ার কারণে তা ধনাত্মক হয়ে যায়।

সুতরাং, আমাদের ইন্টিগ্রালটিকে দুটি অংশে ভাগ করতে হবে:

\(\int_0^{\frac{3\pi}{4}} |cosx| dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} cosx \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} (-cosx) \, dx\)

এখন, আমরা প্রতিটি অংশ আলাদাভাবে সমাধান করি:

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}} cosx \, dx = [sinx]_0^{\frac{\pi}{2}} = sin(\frac{\pi}{2}) - sin(0) = 1 - 0 = 1\)

\(\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} -cosx \, dx = [-sinx]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{4}} = -sin(\frac{3\pi}{4}) - (-sin(\frac{\pi}{2})) = -sin(\frac{3\pi}{4}) + sin(\frac{\pi}{2})\)

আমরা জানি, \(sin(\frac{3\pi}{4}) = sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

সুতরাং, \(-sin(\frac{3\pi}{4}) + sin(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\)

এখন দুটি অংশ যোগ করে পাই:

\(\int_0^{\frac{3\pi}{4}} |cosx| dx = 1 + (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = 2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\)

অতএব, \(\int_0^{\frac{3\pi}{4}} |cosx| dx = 2 - \frac{1}{\sqrt{2}}\) 🎉