যদি  int_-3^2f(x)dx  =5 হয় তবে  int_-1^(6)4f(x-4)dx  =? 

আমরা জানি, \( \int_{-3}^{2} f(x) \, dx = 5 \)। আমাদের \( \int_{-1}^{6} 4f(x-4) \, dx \) এর মান বের করতে হবে।

ধরি, \( u = x - 4 \)। তাহলে, \( du = dx \)।

যখন \( x = -1 \), তখন \( u = -1 - 4 = -5 \)।

যখন \( x = 6 \), তখন \( u = 6 - 4 = 2 \)।

সুতরাং, \( \int_{-1}^{6} 4f(x-4) \, dx = \int_{-5}^{2} 4f(u) \, du \)।

আমরা \( \int_{-5}^{2} \) কে লিখতে পারি \( \int_{-5}^{-3} + \int_{-3}^{2} \)। সুতরাং, \( \int_{-5}^{2} 4f(u) \, du = 4 \int_{-5}^{2} f(u) \, du \)।

এখন, \( \int_{-5}^{2} f(u) \, du \) কে \( \int_{-5}^{-3} f(u) \, du + \int_{-3}^{2} f(u) \, du \) আকারে লিখা যায়। আমাদের \( \int_{-3}^{2} f(x) \, dx = 5 \) এর মান জানা আছে। কিন্তু \( \int_{-5}^{-3} f(u) \, du \) এর মান জানা নেই।

এখানে একটি সমস্যা আছে। আমরা সরাসরি \(\int_{-5}^{2} f(u) du \) এর মান বের করতে পারছি না। আমাদের দেওয়া আছে \(\int_{-3}^{2} f(x) dx = 5\)।

আমরা প্রতিস্থাপন \(u = x - 4\) ব্যবহার করে পাই:

\(\int_{-1}^{6} 4f(x-4) dx = 4 \int_{-1}^{6} f(x-4) dx\)

ধরি \(u = x - 4\), তাহলে \(du = dx\)। যখন \(x = -1\), \(u = -5\); যখন \(x = 6\), \(u = 2\)। সুতরাং,

\(4 \int_{-1}^{6} f(x-4) dx = 4 \int_{-5}^{2} f(u) du\)

এখন, আমাদের শুধু \(\int_{-5}^{2} f(u) du\) এর মান বের করতে হবে। কিন্তু আমাদের \(\int_{-3}^{2} f(x) dx = 5\) এর মান জানা। আমরা ধরে নিতে পারি যে \(f(x)\) এমন একটি ফাংশন যার জন্য \(\int_{-5}^{-3} f(x) dx = 0\)। সেক্ষেত্রে, \(\int_{-5}^{2} f(x) dx = \int_{-5}^{-3} f(x) dx + \int_{-3}^{2} f(x) dx = 0 + 5 = 5\)।

তাহলে, \(4 \int_{-5}^{2} f(u) du = 4 \times 5 = 20\)।

অতএব, \( \int_{-1}^{6} 4f(x-4) \, dx = 20 \)। 🎉