int_3^7|x-5|dx = ? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ \(\int_{3}^{7} |x - 5|\,dx = ?\)

সমাধান:

প্রথমে, \(|x - 5|\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। \(|x - 5|\) এর মান \(x\) এর উপর নির্ভর করে, যেখানে:

• যখন \(x \geq 5\), তখন \(|x - 5| = x - 5\)
• যখন \(x < 5\), তখন \(|x - 5| = 5 - x\)

অতএব, ইন্টিগ্রালটি দুটি অংশে ভাগ করা যায়: 3 থেকে 5 ও 5 থেকে 7।

অর্থাৎ,

\[ \int_{3}^{7} |x - 5|\,dx = \int_{3}^{5} (5 - x)\,dx + \int_{5}^{7} (x - 5)\,dx \]

প্রথম অংশ:

\[ \int_{3}^{5} (5 - x)\,dx = \left[5x - \frac{x^2}{2}\right]_{3}^{5} \] \[ = \left(5 \times 5 - \frac{5^2}{2}\right) - \left(5 \times 3 - \frac{3^2}{2}\right) \] \[ = (25 - \frac{25}{2}) - (15 - \frac{9}{2}) \] \[ = \left(25 - 12.5\right) - \left(15 - 4.5\right) \] \[ = 12.5 - 10.5 = 2 \]

দ্বিতীয় অংশ:

\[ \int_{5}^{7} (x - 5)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - 5x\right]_{5}^{7} \] \[ = \left(\frac{7^2}{2} - 5 \times 7\right) - \left(\frac{5^2}{2} - 5 \times 5\right) \] \[ = \left(\frac{49}{2} - 35\right) - \left(\frac{25}{2} - 25\right) \] \[ = (24.5 - 35) - (12.5 - 25) \] \[ = (-10.5) - (-12.5) = -10.5 + 12.5 = 2 \]

অতএব, সম্পূর্ণ ইন্টিগ্রালটির মান হল:

\[ 2 + 2 = 4 \]

উত্তর: 4