α এর কোন মানের জন্যে l(alpha)=int_0^1(x^2-alpha)^2dx এর মান সর্বনিম্ন হবে?

Explanation:

Another Explanation (5): bài toán yêu cầu tìm giá trị \(\alpha\) sao cho tích phân \(l(\alpha) = \int_0^1 (x^2 - \alpha)^2 dx\) đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: \[ l(\alpha) = \int_0^1 (x^4 - 2\alpha x^2 + \alpha^2) dx \] \[ = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2\alpha x^3}{3} + \alpha^2 x \right]_0^1 \] \[ = \frac{1}{5} - \frac{2\alpha}{3} + \alpha^2 \] Để tìm giá trị \(\alpha\) sao cho \(l(\alpha)\) đạt giá trị nhỏ nhất, ta tìm điểm cực trị bằng cách lấy đạo hàm theo \(\alpha\) và giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ \frac{dl}{d\alpha} = -\frac{2}{3} + 2\alpha \] Đặt \(\frac{dl}{d\alpha} = 0\), ta có: \[ -\frac{2}{3} + 2\alpha = 0 \] \[ 2\alpha = \frac{2}{3} \] \[ \alpha = \frac{1}{3} \] Để kiểm tra xem đây có phải là điểm cực tiểu, ta lấy đạo hàm bậc hai: \[ \frac{d^2l}{d\alpha^2} = 2 > 0 \] Vì đạo hàm bậc hai dương, \(\alpha = \frac{1}{3}\) là điểm cực tiểu. Vậy, giá trị của \(\alpha\) để \(l(\alpha)\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{1}{3}\). 🥳