যদি int_1^5 dx/(2x-1) =lnk হয়, তবে k এর মান কত ? 

দেওয়া আছে, \( \int_1^5 \frac{dx}{2x-1} = \ln k \).

আমাদের \( k \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:

\( \int_1^5 \frac{dx}{2x-1} \)

ধরি, \( u = 2x - 1 \). তাহলে, \( du = 2 dx \) বা \( dx = \frac{du}{2} \).

যখন \( x = 1 \), তখন \( u = 2(1) - 1 = 1 \).

যখন \( x = 5 \), তখন \( u = 2(5) - 1 = 9 \).

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_1^9 \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_1^9 \frac{du}{u} \)

\( = \frac{1}{2} [\ln |u|]_1^9 = \frac{1}{2} (\ln 9 - \ln 1) \)

\( = \frac{1}{2} (\ln 9 - 0) = \frac{1}{2} \ln 9 \)

\( = \ln (9^{\frac{1}{2}}) = \ln \sqrt{9} = \ln 3 \)

সুতরাং, \( \int_1^5 \frac{dx}{2x-1} = \ln 3 \).

যেহেতু \( \int_1^5 \frac{dx}{2x-1} = \ln k \), তাই \( \ln k = \ln 3 \).

অতএব, \( k = 3 \). 🎉