\( y^2 - x^2 = 1 \) হাইপারবোলার শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক কত?

প্রশ্ন:

\( y^2 - x^2 = 1 \) হাইপারবোলার শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক কত?

উত্তর:

\( (0, \pm 1) \)

সমাধান:

একটি হাইপারবোলার সাধারণ সমীকরণ হলো:

\( \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \)

আমাদের প্রদত্ত সমীকরণ হলো:

\( y^2 - x^2 = 1 \)

এখানে, এটি সংশ্লিষ্ট রূপে লেখা গেলে:

\( \frac{y^2}{1} - \frac{x^2}{1} = 1 \)

অর্থাৎ, \( a^2 = 1 \) এবং \( b^2 = 1 \)। তাই, \( a = 1 \)।

হাইপারবোলার শীর্ষবিন্দু (Vertices) মূলত \( y \)-অক্ষের উপর অবস্থিত, কারণ এটি \( y \)-অক্ষের উপর একটি উল্লম্ব হাইপারবোলা।

শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কপ্রাপ্তি জন্য, \( x = 0 \) ধরে নিই। তখন, সমীকরণে:

\( y^2 - 0^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \)

অতএব, শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক হলো:

\( (0, 1) \) এবং \( (0, -1) \)

উপসংহার:

সুতরাং, হাইপারবোলার শীর্ষবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক হলো \( (0, \pm 1) \).