x^2/a^2 -y^2/b^2 =1 অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) এই হাইপারবোলে অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে, এই হাইপারবোলোটির কেন্দ্র (center) হলো ওরিজিন (0,0), এবং এর অ্যাক্সিস হলো x-অক্ষের সাথে। অধিবৃত্তের উপকেন্দ্র (conjugate circle) হলো হাইপারবোলোটির উপকেন্দ্রের উপর অবস্থিত একটি আয়তক্ষেত্রের কেন্দ্র। এই হাইপারবোলোটির উপকেন্দ্রের অবস্থান হল: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] এখন, অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য, আমরা নোট করি যে, এই লম্বের জন্য সবচেয়ে বড় ও সবচেয়ে ছোট কোণগুলির মধ্যে দূরত্ব বিবেচনা করতে হবে। প্রথমে, হাইপারবোলোটির সাধারণ সমীকরণ থেকে, অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রের জন্য সমীকরণ হল: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] এখন, উপকেন্দ্রের অবস্থান পেতে, \(x = c = \sqrt{a^2 + b^2}\), তাহলে, \[ \frac{(\sqrt{a^2 + b^2})^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] \[ \frac{a^2 + b^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] \[ \frac{a^2 + b^2}{a^2} - 1 = \frac{y^2}{b^2} \] \[ \frac{a^2 + b^2 - a^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2} \] \[ \frac{b^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2} \] \[ y^2 = \frac{b^4}{a^2} \] \[ y = \pm \frac{b^2}{a} \] অর্থাৎ, উপকেন্দ্রিক লম্বের দুটি বিন্দু হলো: \[ \left( \sqrt{a^2 + b^2}, \pm \frac{b^2}{a} \right) \] এখন, এই দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হলো: \[ \text{Lomb's length} = 2 \times \left( \text{difference in y-coordinates} \right) \] কারণ, x-অক্ষের মান একই থাকায়, কেবল y-অক্ষের পার্থক্য বিবেচনা করছি: \[ \text{L} = 2 \times \frac{b^2}{a} \] অতএব, অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো: \[ \boxed{\frac{2b^2}{a}} \]