(3,4) এবং (5,9) বিন্দুদ্বয়ের সংযােগ রেখাংশকে (-1,-6) বিন্দুটি কোন অনুপাতে বিভক্ত করে ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: (3,4) এবং (5,9) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \((-1,-6)\) বিন্দুটি কোন অনুপাতে বিভক্ত করে? সমাধান: প্রথমে, ধরা যাক বিন্দুটি \\(P(-1, -6)\)\, এবং রেখাংশ \(AB\) যেখানে \(A(3,4)\) ও \(B(5,9)\)। আমরা জানি, বিন্দু \(P\) রেখাংশ \(AB\) কে অনুপাতে বিভক্ত করে \(\lambda : 1 - \lambda\) অনুপাতে। অর্থাৎ, \[ P = \left( \frac{\lambda x_B + (1 - \lambda) x_A}{1}, \frac{\lambda y_B + (1 - \lambda) y_A}{1} \right) \] অথবা সরাসরি, \[ x_P = \frac{\lambda x_B + (1 - \lambda) x_A}{1} \] \[ y_P = \frac{\lambda y_B + (1 - \lambda) y_A}{1} \] এখানে, \(x_A=3, y_A=4, x_B=5, y_B=9, x_P=-1, y_P=-6\) প্রথমে, \(x\)-অক্ষের জন্য সমীকরণ লিখি: \[ -1 = \lambda \times 5 + (1 - \lambda) \times 3 \] \[ -1 = 5 \lambda + 3 - 3 \lambda \] \[ -1 = (5 \lambda - 3 \lambda) + 3 \] \[ -1 = 2 \lambda + 3 \] \[ 2 \lambda = -1 - 3 = -4 \] \[ \lambda = -2 \] এখন, \(y\)-অক্ষের জন্য সমীকরণ: \[ -6 = \lambda \times 9 + (1 - \lambda) \times 4 \] \[ -6 = 9 \lambda + 4 - 4 \lambda \] \[ -6 = (9 \lambda - 4 \lambda) + 4 \] \[ -6 = 5 \lambda + 4 \] \[ 5 \lambda = -6 - 4 = -10 \] \[ \lambda = -2 \] দুটি সমীকরণ থেকে পেয়েছি \(\lambda = -2\)। অর্থাৎ, বিন্দু \(P\) রেখাংশ \(AB\) কে \(-2 : 1 - (-2) = -2 : 3\) অনুপাতে বিভক্ত করে। ইতিমধ্যে, অনুপাতে বিভক্তের মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হওয়া মানে বিন্দুটি কোথায় অবস্থিত তা নির্ধারণ করে। এখানে, অনুপাতে \(\lambda = -2\) (অর্থাৎ, \(-2 : 3\))। অতএব, বিন্দুটি রেখাংশকে \(\boxed{\text{2:3 অনুপাতে বহির্বিভক্ত}}\)। উত্তর: **2:3 অনুপাতে বহির্বিভক্ত**