\( \left( 3x^2 - \frac{1}{3x} \right)^5 \) এর বিস্তৃতিতে x এর সহগ কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

\( \left( 3x^2 - \frac{1}{3x} \right)^5 \) এর বিস্তৃতিতে \( x \) এর সহগ কোনটি?

উত্তর:

প্রথমে, সমন্বয় সূত্রের মাধ্যমে বিস্তার করব। ধরি, \( a = 3x^2 \) এবং \( b = - \frac{1}{3x} \)। তাহলে,

\[ \left( a + b \right)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} a^{5-k} b^k \]

প্রতিটি উপাদানের জন্য,

\[ a^{5-k} = (3x^2)^{5-k} = 3^{5-k} x^{2(5-k)} = 3^{5-k} x^{10 - 2k} \] \[ b^{k} = \left(- \frac{1}{3x} \right)^k = (-1)^k \frac{1}{3^k x^{k}} \]

অতএব, বিস্তৃতির প্রতিটি উপাদান হল:

\[ \binom{5}{k} \cdot 3^{5-k} x^{10 - 2k} \cdot (-1)^k \frac{1}{3^k x^{k}} = \binom{5}{k} \cdot 3^{5-k} \cdot (-1)^k \frac{1}{3^k} \cdot x^{10 - 2k - k} \]

সরলীকরণ করলে,

\[ = \binom{5}{k} \cdot 3^{(5-k) - k} \cdot (-1)^k \cdot x^{10 - 3k} \] \[ = \binom{5}{k} \cdot 3^{5 - 2k} \cdot (-1)^k \cdot x^{10 - 3k} \]

এখন, আমরা এমন \( k \) এর মান খুঁজব যেখানে \( x \) এর সহগের ঘাত হয় 1, অর্থাৎ, \( 10 - 3k = 1 \) :

\[ 10 - 3k = 1 \] \[ 3k = 9 \] \[ k=3 \]

অতএব, সহগের মান হবে যখন \( k=3 \)। এখন, এই মানের জন্য সহগের মান গণনা করি:

\[ \binom{5}{3} \cdot 3^{5 - 2 \times 3} \cdot (-1)^3 \]

গণনা করি:

\[ \binom{5}{3} = 10 \] \[ 3^{5 - 6} = 3^{-1} = \frac{1}{3} \] \[ (-1)^3 = -1 \]

অতএব, সহগের মান:

\[ = 10 \times \frac{1}{3} \times (-1) = - \frac{10}{3} \]

উত্তর:

\(\boxed{ -\frac{10}{3} }\)