কোনো বস্তুকে মুক্তিবেগের কতগুণ বেগে নিক্ষেপ করলে কৃত্রিম উপগ্রহে পরিণত হবে?

মুক্তিবেগ ও কৃত্রিম উপগ্রহের বেগ

কোনো বস্তুকে মুক্তিবেগের \(1/\sqrt{2}\) গুণ বেগে নিক্ষেপ করলে সেটি কৃত্রিম উপগ্রহে পরিণত হবে।🚀

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, কোনো বস্তুকে মুক্তিবেগ \(v_e\) (\(v_e = \sqrt{2gR}\)) এ নিক্ষেপ করলে সেটি পৃথিবীর আকর্ষণ কাটিয়ে অসীম দূরত্বে চলে যায়। 🌍

এখন, একটি বস্তুকে যদি এমন একটি আনুভূমিক বেগ \(v\) এ নিক্ষেপ করা হয়, যেন সেটি একটি নির্দিষ্ট উচ্চতায় পৃথিবীকে কেন্দ্র করে ঘুরতে থাকে, তবে সেটিকে কৃত্রিম উপগ্রহ বলা হয়। 🛰️

কৃত্রিম উপগ্রহের কক্ষীয় বেগ \(v_o\) হলে, \(v_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}\), যেখানে \(G\) মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, \(M\) পৃথিবীর ভর এবং \(r\) পৃথিবী কেন্দ্র থেকে উপগ্রহের কক্ষপথের দূরত্ব।

যদি উপগ্রহটি পৃথিবীর খুব কাছে (পৃষ্ঠের কাছাকাছি) ঘোরে, তবে \(r \approx R\), যেখানে \(R\) পৃথিবীর ব্যাসার্ধ। সেক্ষেত্রে,

\(v_o = \sqrt{\frac{GM}{R}}\)

আমরা জানি, \(g = \frac{GM}{R^2}\), সুতরাং \(GM = gR^2\)।

অতএব, \(v_o = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}\)

আবার, মুক্তিবেগ \(v_e = \sqrt{2gR}\)

সুতরাং, \(\sqrt{gR} = \frac{v_e}{\sqrt{2}}\)

সুতরাং, \(v_o = \frac{v_e}{\sqrt{2}}\)

সুতরাং, কোনো বস্তুকে মুক্তিবেগের \(1/\sqrt{2}\) গুণ বেগে নিক্ষেপ করলে সেটি কৃত্রিম উপগ্রহে পরিণত হবে। 🎉