int_1^3 (2xdx)/(1+x^2) এর মান কত?

ধাপ ১: প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি লিখি:

\( \int_1^3 \frac{2x}{1+x^2} dx \)

ধাপ ২: \( u = 1 + x^2 \) প্রতিস্থাপন করি। তাহলে, \( du = 2x dx \) হবে।

ধাপ ৩: লিমিট পরিবর্তন করি:

যখন \( x = 1 \), তখন \( u = 1 + 1^2 = 2 \)

যখন \( x = 3 \), তখন \( u = 1 + 3^2 = 10 \)

ধাপ ৪: এখন ইন্টিগ্রালটি u এর সাপেক্ষে লিখি:

\( \int_2^{10} \frac{1}{u} du \)

ধাপ ৫: ইন্টিগ্রালটির মান নির্ণয় করি:

\( \int \frac{1}{u} du = ln|u| + C \)

ধাপ ৬: লিমিট বসিয়ে মান বের করি:

\( [ln|u|]_2^{10} = ln(10) - ln(2) \)

ধাপ ৭: লগারিদমের নিয়ম ব্যবহার করে সরল করি:

\( ln(10) - ln(2) = ln(\frac{10}{2}) = ln(5) \)

অতএব, \( \int_1^3 \frac{2x}{1+x^2} dx = ln(5) \) 🎉

সুতরাং, উত্তর: ln5 📚