root(3)(x+iy)=p+iq 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\sqrt[3]{x + iy} = p + iq\) উত্তর: \(4(p^2 - q^2) = \frac{x}{p} + \frac{y}{q}\) --- সমাধান: ধরা যাক, \(z = p + iq\)। তাহলে, \[ z^3 = x + iy \] অর্থাৎ, \[ (p + iq)^3 = x + iy \] অতএব, \[ (p + iq)^3 = p^3 + 3p^2 iq + 3p (iq)^2 + (iq)^3 \] \[ = p^3 + 3p^2 iq + 3p (i^2 q^2) + i^3 q^3 \] চিহ্নিত করো, যেখানে \(i^2 = -1\) ও \(i^3 = -i\): \[ = p^3 + 3p^2 i q + 3p (-1) q^2 + (-i) q^3 \] \[ = p^3 - 3p q^2 + i (3p^2 q - q^3) \] অর্থাৎ, \[ x + iy = p^3 - 3p q^2 + i (3p^2 q - q^3) \] তাহলে, \[ x = p^3 - 3p q^2 \] \[ y = 3p^2 q - q^3 \] --- প্রথমত, \(x\) ও \(y\) এর উপর ভিত্তি করে \(p\) ও \(q\) এর সমীকরণ থেকে সম্পর্ক বের করব। লক্ষ্য, \(4(p^2 - q^2)\) এর সাথে সম্পর্ক স্থাপন করা। **ধাপ 1:** \(x\) ও \(y\) থেকে \(p\) ও \(q\) এর সম্পর্ক বের করা। \[ x = p^3 - 3 p q^2 \] অথবা, \[ p^3 = x + 3 p q^2 \] এবং, \[ y = 3 p^2 q - q^3 \] --- **ধাপ 2:** \(p^2 - q^2\) এর উপর মনোযোগ দিন। \[ p^2 - q^2 = (p + q)(p - q) \] তবে, এই পদ্ধতিতে সরাসরি সমাধান কঠিন। পরিবর্তে, \(p\) ও \(q\) এর উপর ভিত্তি করে নির্ণয় করতে পারি \(p^2\) ও \(q^2\) এর সম্পর্ক। **ধাপ 3:** \(p^2\) ও \(q^2\) এর উপর ভিত্তি করে সমীকরণ গঠন করুন। --- **ধাপ 4:** \(x\) ও \(y\) এর উপর ভিত্তি করে \(p\) ও \(q\) এর অভিব্যক্তি লিখুন। \[ p^3 - 3 p q^2 = x \] \[ 3 p^2 q - q^3 = y \] উপরে, প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ x = p^3 - 3 p q^2 \] এবং, \[ y = 3 p^2 q - q^3 \] --- **ধাপ 5:** \(p\) ও \(q\) এর সমীকরণের উপর ভিত্তি করে \(p^2\) ও \(q^2\) এর সম্পর্ক তৈরি করুন। \[ p^2 = \frac{p^3}{p} \] \[ q^2 = \left(\frac{q^3}{q}\right) \] অথবা, এই পথে সরাসরি সমাধান কঠিন। বরং, এই সমীকরণ দিয়ে \(p\) ও \(q\) এর উপর ভিত্তি করে একটি সম্পর্ক গড়ে তোলা যেতে পারে। --- **ধাপ 6:** \(p^2 - q^2\) এর জন্য নির্ণয় করুন: \[ 4(p^2 - q^2) = ? \] আমরা লক্ষ্য, এই সম্পর্ককে \(x\) ও \(y\) এর সাথে সম্পর্কিত করা। --- **ধাপ 7:** মূল সূত্রে ফিরে আসা। আমরা জানি: \[ x = p^3 - 3 p q^2 \] \[ y = 3 p^2 q - q^3 \] আমরা \(p^2 - q^2\) এর জন্য একটি সূত্র পাব, যদি আমরা \(p\) ও \(q\) এর উপর ভিত্তি করে সমাধান করি। --- **উপসংহার:** অতএব, আমরা লক্ষ্য করি: \[ 4(p^2 - q^2) = \frac{x}{p} + \frac{y}{q} \] এই সম্পর্কটি প্রমাণের জন্য, উপরের সমীকরণ থেকে \(p\) ও \(q\) এর উপর ভিত্তি করে গুণফল ও ভাগফল ব্যবহার করতে হবে। --- **প্রমাণ:** \[ x = p^3 - 3 p q^2 \Rightarrow \frac{x}{p} = p^2 - 3 q^2 \] \[ y = 3 p^2 q - q^3 \Rightarrow \frac{y}{q} = 3 p^2 - q^2 \] অতএব, \[ \frac{x}{p} + \frac{y}{q} = (p^2 - 3 q^2) + (3 p^2 - q^2) = p^2 + 3 p^2 - 3 q^2 - q^2 = 4 p^2 - 4 q^2 \] অর্থাৎ, \[ \boxed{ \frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 4 (p^2 - q^2) } \] --- **সুতরাং,** \[ \boxed{ 4(p^2 - q^2) = \frac{x}{p} + \frac{y}{q} } \]