\( \cos^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ + ... + \cos^2 180^\circ = ? \)

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \[ \cos^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ + \dots + \cos^2 180^\circ \] এখানে, ধাপক্রমে সমাধান করব। প্রথমে, লক্ষ্য করুন যে, এই যোগফলটি 30° থেকে 180° পর্যন্ত 30° কদমে বৃদ্ধি পেয়ে চলেছে। অর্থাৎ: \[ \text{Angles: } 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 150^\circ, 180^\circ \] তাই, সমাধান হবে: \[ \sum_{k=1}^{6} \cos^2 (30^\circ \times k) \] এখন, প্রতিটি মানের জন্য হিসাব করি। **প্রথম, ব্যবহার করব পরিচিত ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণ:** \[ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \] অর্থাৎ: \[ \sum_{k=1}^{6} \cos^2 (30^\circ \times k) = \sum_{k=1}^{6} \frac{1 + \cos (2 \times 30^\circ \times k)}{2} \] এখানে: \[ = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{6} 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{6} \cos (60^\circ \times k) \] প্রথম অংশ: \[ \frac{1}{2} \times 6 = 3 \] দ্বিতীয় অংশ: \[ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{6} \cos (60^\circ \times k) \] এখন, এই যোগফল নির্ণয় করি: \[ \sum_{k=1}^{6} \cos (60^\circ \times k) = \cos 60^\circ + \cos 120^\circ + \cos 180^\circ + \cos 240^\circ + \cos 300^\circ + \cos 360^\circ \] **মান গুলি জানি:** \[ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \] \[ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \] \[ \cos 180^\circ = -1 \] \[ \cos 240^\circ = -\frac{1}{2} \] \[ \cos 300^\circ = \frac{1}{2} \] \[ \cos 360^\circ = 1 \] যোগ করি: \[ \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) + (-1) + (-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} + 1 \] সমষ্টি: \[ (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) + (-1) + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + 1 \] \[ 0 - 1 + 0 + 1 = 0 \] সুতরাং, \[ \sum_{k=1}^{6} \cos (60^\circ \times k) = 0 \] অতএব, \[ \sum_{k=1}^{6} \cos^2 (30^\circ \times k) = 3 + \frac{1}{2} \times 0 = 3 \] **অতএব, উত্তর হলো:** \[ \boxed{3} \]