x^2/9-y^2/16=1 অধিবৃত্তটির অসীমতট রেখা সমীকরণ কোনটি?
4x±3y=0
প্রশ্নের সমাধান:
প্রশ্নে প্রদত্ত অধিবৃত্তটির সমীকরণ:
\[ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \]
এটি একটি হাইপারবোলা। এর অসীমতটের রেখা সমীকরণ হলো সেই সব সরলরেখা যেখানে হাইপারবোলার অসীমতটের বিন্দুগুলি অতিক্রম করে।
ধাপ ১: হাইপারবোলার অসীমতটের সমীকরণ পান
অধিবৃত্তের মূল সমীকরণ থেকে, অসীমতটের রেখাগুলি পেতে, আমরা \(\pm \infty\) এর জন্য বিবেচনা করি। অর্থাৎ, \(x\) বা \(y\) গুলোর মান বেশি হলে, মূল সমীকরণে \(\pm \infty\) এর জন্য ধরি।
ধাপ ২: মূল সমীকরণে \(\pm \infty\) এর জন্য বিবেচনা
অধিবৃত্তের সমীকরণ:
\[ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \]
অসীমতটের রেখাগুলির জন্য, \(x\) বা \(y\) অসীম মানে যেতে পারে। তাই, মূল সমীকরণের অনুপাত অ???ুযায়ী, মূল সমীকরণের ডান দিকের মানের জন্য ধরি \(x \to \infty\) বা \(y \to \infty\)।
ধাপ ৩: অসীমতটের রেখার সমীকরণ নির্ণয়
অধিবৃত্তের অসীমতটের জন্য, মূল সমীকরণে \(x\) বা \(y\) এর মান খুব বড় হলে, মূল সমীকরণটি দ্বিগুণ সহজ হয়ে যায়।
অসীমতটের রেখা খুঁজতে, আমরা ধরি \(x\) বা \(y\) বড় মানে, অর্থাৎ, মূল সমীকরণের অনুপাতের ভিত্তিতে:
- যদি \(x \to \infty\), তবে \(\frac{x^2}{9}\) বড় হবে এবং মূল সমীকরণে \(\frac{y^2}{16}\) এর সাথে তুলনা করি।
- অথবা, মূলত, অসীমতটের রেখাগুলির জন্য, মূল সমীকরণে \(\frac{x^2}{9} \to \infty\) বা \(\frac{y^2}{16} \to \infty\), সেই অনুযায়ী সরলরেখার সমীকরণ বের করব।
ধাপ ৪: সরল রেখার সমীকরণ নির্ণয়
অসীমতটের সরল রেখাগুলির জন্য, মূল সমীকরণটি ধরা হয় যে, \(\frac{y}{x}\) এর মান নির্ণয় করা হবে।
প্রথমত, মূল সমীকরণ থেকে, \(x\) বা \(y\) বড় হলে, মূল সমীকরণের মূল অংশগুলোকে বিবেচনা করি।
ধাপ ৫: মূল সমীকরণকে বিভক্ত ??রে দেখুন
অসীমতটের রেখার জন্য, আসুন ধরি:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = m \]এখন, মূল সমীকরণে, \(x\) এর জন্য সমাধান করি:
\[ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \] \[ \Rightarrow \frac{x^2}{9} - \frac{(mx)^2}{16} = 1 \] \[ \Rightarrow \frac{x^2}{9} - \frac{m^2 x^2}{16} = 1 \] \[ \Rightarrow x^2 \left(\frac{1}{9} - \frac{m^2}{16}\right) = 1 \] \[ \Rightarrow x^2 = \frac{1}{\frac{1}{9} - \frac{m^2}{16}} \] অসীমতটে, \(x \to \infty\), তাই ডেনোমিনেটর শূন্যের কাছাকাছি হওয়া দরকার। অর্থাৎ, \[ \frac{1}{9} - \frac{m^2}{16} \to 0 \] \[ \Rightarrow \frac{1}{9} = \frac{m^2}{16} \] \[ \Rightarrow m^2 = \frac{16}{9} \] \[ \Rightarrow m = \pm \frac{4}{3} \]ধাপ ৬: অসীমতটের রেখার সমীকরণ
অসীমতটের রেখাগুলি হল যেখানে \(\frac{y}{x} = m\), অর্থাৎ, \(y = m x\)। সুতরাং, এই রেখাগুলোর সমীকরণ হবে:
\[ y = \pm \frac{4}{3} x \] অথবা, \[ 4x \pm 3y = 0 \]উত্তর:
অসীমতটের রেখার সমীকরণ হল: "4x ± 3y = 0"