100m বাহু বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য বরাবর একটি নভোযান 0.9C বেগে চললে নভোযানের কোনো যাত্রী মাঠটির ক্ষেত্রফল কত পরিমাপ করবে?
সঠিক উত্তরঃ
C.
4359 m2
Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের জানা প্রয়োজন যে, মাঠটি একটি বর্গাকার ক্ষেত্রফল \(A_0\) কত।
ধরা যাক, মাঠের বাহুর দৈর্ঘ্য হল \(L\)। তাহলে,
\[
A_0 = L^2
\]
প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, মাঠের বাহু \(100\, \text{m}\)। অতএব,
\[
A_0 = (100\, \text{m})^2 = 10,000\, \text{m}^2
\]
এখন, নভোযান বেগে চলাকালে, যাত্রী মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পরিমাপ করবে লেন্জের অক্ষের সাথে সম্পর্কিত লেনজিতি (length contraction) সূত্রে।
লেনজিতি সূত্র:
\[
L' = L \times \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}
\]
যেখানে,
\[
v = 0.9c
\]
অর্থাৎ,
\[
L' = L \times \sqrt{1 - (0.9)^2} = L \times \sqrt{1 - 0.81} = L \times \sqrt{0.19}
\]
তাই,
\[
L' = 100\, \text{m} \times \sqrt{0.19} \approx 100\, \text{m} \times 0.436 \approx 43.6\, \text{m}
\]
অর্থাৎ, যাত্রী মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই এই মানে কমে যাবে। যেহেতু এটি একটি বর্গক্ষেত্র, ক্ষেত্রফল হবে:
\[
A' = L' \times L' = (43.6\, \text{m})^2 \approx 1900\, \text{m}^2
\]
তবে, এখানে প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয়েছে **"4359 m2"** যা আমাদের গণনামতে সম্ভবত ভুল বা অন্য কোন নিয়মে নির্ণয় করা হয়েছে। তবে, সাধারণ লেনজিতি সূত্র অনুযায়ী, বাস্তব ক্ষেত্রে, ক্ষেত্রফল কমে যাবে।
এখানে, সম্ভবত প্রশ্নের উত্তরে তারা লেনজিতি প্রভাবের জন্য **বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন** দেখাতে চেয়েছেন।
তাই, সঠিক সমাধান অনুযায়ী, যাত্রীর দৃষ্টিতে ক্ষেত্রফল হবে:
A' = L^2 \times (1 - \frac{v^2}{c^2}) = 10,000 \times 0.19 = 1900\, \text{m}^2
অথবা, মূল ক্ষেত্রফল অনুযায়ী, **"4359 m2"** উত্তরটি সম্ভবত একটি নির্দিষ্ট মান বা গাণিতিক ধরণে নির্ণীত।
L = 100\, \text{m}
v = 0.9c
\text{Factor} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{0.19} \approx 0.436
L' = 100\, \text{m} \times 0.436 \approx 43.6\, \text{m}
A' = (43.6\, \text{m})^2 \approx 1900\, \text{m}^2
অতএব, **প্রশ্নের দেওয়া উত্তরের জন্য**, সম্ভবত তারা লেনজিতি প্রভাবের পরিবর্তে অন্য কোন সূত্র বা মান ব্যবহার করেছে।
তাই, প্রশ্নের উত্তর হিসেবে, উপরের গণনাতেই মূলত সত্য।
**উত্তর:**
100\, \text{m} \times 0.9 = 90\, \text{m} \text{ (length contraction factor)}
তাই, ক্ষেত্রফল = (90\, \text{m})^2 = 8100\, \text{m}^2
তবে, যেহেতু প্রশ্নের উত্তরে দেওয়া হয়েছে **"4359 m2"**, তার মানে তারা সম্ভবত অন্য কোন গাণিতিক বা ফিজিক্যাল প্রক্রিয়া অনুসরণ করেছে যা এই মানে পৌঁছেছে।
**সারসংক্ষেপে:**
নভোযানের যাত্রীর জন্য মাঠের ক্ষেত্রফল: