\(\frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) \right)\) এর মান কোনটি?

প্রথমে, সমাধানে মূল অংশ হলো ডিফারেনশিয়াল চেইন রুল প্রয়োগ করা। আমরা ধরেছি:

\( y = \arctan \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) \)

তাহলে, ডেরিভেটিভ হবে:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^2} \times \frac{d}{dx} \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) \)

প্রথম অংশের ডেরিভেটিভ নির্ণয় করি:

\( \frac{d}{dx} \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) \)

এটি রুল অনুযায়ী:

\( \frac{(1 - x) \times \frac{d}{dx}(1 + x) - (1 + x) \times \frac{d}{dx}(1 - x)}{(1 - x)^2} \)

যেখানে:

• \( \frac{d}{dx}(1 + x) = 1 \)
• \( \frac{d}{dx}(1 - x) = -1 \)

অর্থাৎ:

\( \frac{(1 - x) \times 1 - (1 + x) \times (-1)}{(1 - x)^2} = \frac{1 - x + 1 + x}{(1 - x)^2} = \frac{2}{(1 - x)^2} \)

এখন মূল ডেরিভেটিভে ফিরে আসি:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^2} \times \frac{2}{(1 - x)^2} \)

এখন, প্রথম অংশটি সরলীকরণ করি:

\( 1 + \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right)^2 = \frac{(1 - x)^2 + (1 + x)^2}{(1 - x)^2} \)

এবং, সরলীকরণ করি:

\( (1 - x)^2 + (1 + x)^2 = (1 - 2x + x^2) + (1 + 2x + x^2) = 2 + 2x^2 \)

অতএব, প্রাথমিক অংশটি:

\( \frac{2 + 2x^2}{(1 - x)^2} \)

অর্থাৎ, ডেরিভেটিভের মূল অংশ:

\( \frac{1}{\frac{2 + 2x^2}{(1 - x)^2}} = \frac{(1 - x)^2}{2(1 + x^2)} \)

অতএব, সমগ্র ডেরিভেটিভ:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{(1 - x)^2}{2(1 + x^2)} \times \frac{2}{(1 - x)^2} = \frac{1}{1 + x^2} \)

অতএব, উত্তরের মান হলো:

\( \boxed{\frac{1}{1 + x^2}} \)