d/(dx) (tan^-1 ((2x)/(1-x^2)))=?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) \right) = ?\) উত্তর: \(\frac{2}{1 + x^2}\) সমাধান: প্রথমে, আমাদের ফাংশনটি হলো: \[ f(x) = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) \] এখন, সাধারণত \(\frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} u \right) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx}\) এখানে, \[ u = \frac{2x}{1 - x^2} \] প্রথমে, \(u\) এর ডিফারেনশিয়াল নির্ণয় করিঃ \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) \] প্রয়োগ করি রুল: \[ \frac{du}{dx} = \frac{(2)(1 - x^2) - (2x)(-2x)}{(1 - x^2)^2} \] উপরে, \[ = \frac{2(1 - x^2) + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \] \[ = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \] \[ = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} \] \[ = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} \] এখন, মূল ডেরিভেটিভটি: \[ f'(x) = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \] আমাদের লক্ষ্য হলো, \[ f'(x) = \frac{1}{1 + \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right)^2} \times \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} \] প্রথম, \(1 + u^2\) নির্ণয় করি: \[ 1 + u^2 = 1 + \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right)^2 = 1 + \frac{4x^2}{(1 - x^2)^2} \] একই নামের সাথে সমাকলন করি: \[ = \frac{(1 - x^2)^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \] বর্গের বিস্তার: \[ (1 - x^2)^2 + 4x^2 = (1 - 2x^2 + x^4) + 4x^2 = 1 - 2x^2 + x^4 + 4x^2 = 1 + 2x^2 + x^4 \] অতএব, \[ 1 + u^2 = \frac{1 + 2x^2 + x^4}{(1 - x^2)^2} \] এখানে, মূল ফাংশনের ডেরিভেটিভ: \[ f'(x) = \frac{1}{\frac{1 + 2x^2 + x^4}{(1 - x^2)^2}} \times \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} \] অর্থাৎ, \[ f'(x) = \frac{(1 - x^2)^2}{1 + 2x^2 + x^4} \times \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2} \] এখানে, \((1 - x^2)^2\) উপাদানগুলো কেটে যাবে: \[ f'(x) = \frac{2(1 + x^2)}{1 + 2x^2 + x^4} \] নোট করুন, \[ 1 + 2x^2 + x^4 = (1 + x^2)^2 \] অতএব, \[ f'(x) = \frac{2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2}{1 + x^2} \] সুতরাং, \[ \boxed{ \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right) \right) = \frac{2}{1 + x^2} } \]