y=sin^-1[6x/(1+9x²)] হলে d_y/d_x =কত?

প্রশ্ন: যদি \( y = \sin^{-1} \left( \frac{6x}{1 + 9x^2} \right) \), তাহলে \( \frac{dy}{dx} \) কত?

উত্তর: \( \frac{6}{1 + 9x^2} \)

সমাধান:

ধরি, \( y = \sin^{-1} u \), যেখানে \( u = \frac{6x}{1 + 9x^2} \)

তাহলে, ডেরিভেটিভের সূত্র অনুসারে: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \times \frac{du}{dx} \]

প্রথমে, \( u = \frac{6x}{1 + 9x^2} \) এর ডেরিভেট নেব: \[ \frac{du}{dx} = \frac{(6)(1 + 9x^2) - 6x \times (18x)}{(1 + 9x^2)^2} \] এখানে, ডট ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল: \[ \frac{du}{dx} = \frac{6(1 + 9x^2) - 6x \times 18x}{(1 + 9x^2)^2} \] \[ = \frac{6 + 54x^2 - 108x^2}{(1 + 9x^2)^2} = \frac{6 - 54x^2}{(1 + 9x^2)^2} \] \[ = \frac{6(1 - 9x^2)}{(1 + 9x^2)^2} \] এখন, \( u^2 = \left(\frac{6x}{1 + 9x^2}\right)^2 = \frac{36x^2}{(1 + 9x^2)^2} \) অতএব, ডেরিভেটিভের মূল সূত্রে রাখি: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \times \frac{du}{dx} \] এবং, \[ 1 - u^2 = 1 - \frac{36x^2}{(1 + 9x^2)^2} = \frac{(1 + 9x^2)^2 - 36x^2}{(1 + 9x^2)^2} \] নির্ণয় করি numerator: \[ (1 + 9x^2)^2 - 36x^2 \] \[ = (1 + 18x^2 + 81x^4) - 36x^2 \] \[ = 1 + 18x^2 + 81x^4 - 36x^2 = 1 - 18x^2 + 81x^4 \] সুতরাং, \[ \sqrt{1 - u^2} = \sqrt{\frac{1 - 18x^2 + 81x^4}{(1 + 9x^2)^2}} = \frac{\sqrt{1 - 18x^2 + 81x^4}}{1 + 9x^2} \] উপরে, numerator: \[ 1 - 18x^2 + 81x^4 = (1 - 9x^2)^2 \] (কারণ, \( (1 - 9x^2)^2 = 1 - 2 \times 9x^2 + 81x^4 = 1 - 18x^2 + 81x^4 \)) অতএব, \[ \sqrt{1 - u^2} = \frac{\sqrt{(1 - 9x^2)^2}}{1 + 9x^2} = \frac{|1 - 9x^2|}{1 + 9x^2} \] এখন, ডেরিভেটিভ: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{|1 - 9x^2|}{1 + 9x^2}} \times \frac{6(1 - 9x^2)}{(1 + 9x^2)^2} \] \[ = \frac{1 + 9x^2}{|1 - 9x^2|} \times \frac{6(1 - 9x^2)}{(1 + 9x^2)^2} \] \[ = \frac{6(1 - 9x^2)(1 + 9x^2)}{(1 + 9x^2)^2 |1 - 9x^2|} \] বৈশিষ্ট্য অনুসারে, \(\frac{1 - 9x^2}{|1 - 9x^2|} = \pm 1\), কিন্তু যখন \(1 - 9x^2 > 0\), তখন এটি 1, এবং যখন \(1 - 9x^2 < 0\), তখন এটি -1। তবে, সমাধানে, মূলত: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{6(1 + 9x^2)}{(1 + 9x^2)^2} = \frac{6}{1 + 9x^2} \] যে কারণে, ডেরিভেটিভের সোজাসুজি উত্তর হল: \[ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{6}{1 + 9x^2}} \]