y=(1+x^2)tan^-1x-x হলে, dy/dx =?
Another Explanation (5):
সমাধান
প্রদত্ত ফাংশন: \( y = (1 + x^2) \tan^{-1} x - x \)
আমরা চাই \( \frac{dy}{dx} \)
প্রথমে, উভয় অংশের ডেরিভেটিভ নির্ণয় করি:
১. \( (1 + x^2) \tan^{-1} x \) এর ডেরিভেটিভ:
এটি পণ্যবিহীন ফাংশন, তাই পণ্যবিহীন ডেরিভেটিভ ব্যবহার করব:
\[
\frac{d}{dx} \left[ (1 + x^2) \tan^{-1} x \right] = \frac{d}{dx} (1 + x^2) \cdot \tan^{-1} x + (1 + x^2) \cdot \frac{d}{dx} (\tan^{-1} x)
\]
এখানে:
\[
\frac{d}{dx} (1 + x^2) = 2x
\]
এবং
\[
\frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{1}{1 + x^2}
\]
অতএব,
\[
\frac{d}{dx} \left[ (1 + x^2) \tan^{-1} x \right] = 2x \tan^{-1} x + (1 + x^2) \cdot \frac{1}{1 + x^2} = 2x \tan^{-1} x + 1
\]
২. দ্বিতীয় অংশের ডেরিভেটিভ: \(-x\)
\[
\frac{d}{dx} (-x) = -1
\]
অতএব, সম্পূর্ণ ডেরিভেটিভ:
\[
\frac{dy}{dx} = \left( 2x \tan^{-1} x + 1 \right) - 1 = 2x \tan^{-1} x
\]
উত্তর:
\frac{dy}{dx} = 2x \tan^{-1} x
