y=tan^-1 ((2x)/(1-x^2))  হলে,dy/dx = কত? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) কত? সমাধান: প্রথমে, আমরা \( y \) কে নির্ণয় করি: \[ y = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \] ডিফারেনশিয়েশন: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)^2} \times \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \] প্রথম অংশ: \[ \frac{1}{1 + \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)^2} \] দ্বিতীয় অংশ: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \] এই ডেরিভেটিভটি ফলন করতে, আমরা রুল অব ডিভিশন প্রয়োগ করবো: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) = \frac{(2)(1 - x^2) - 2x \times (-2x)}{(1 - x^2)^2} \] গণনা: \[ = \frac{2(1 - x^2) + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \] \[ = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} \] এখন, প্রথম অংশে সেটি রাখি: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)^2} \times \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} \] অতএব, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2 + 4x^2} \] কারণ: \[ 1 + \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)^2 = 1 + \frac{4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{(1 - x^2)^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} \] সুতরাং, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2}}{\frac{(1 - x^2)^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2}} = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2 + 4x^2} \] নির্ণয়: \[ (1 - x^2)^2 + 4x^2 = (1 - 2x^2 + x^4) + 4x^2 = 1 - 2x^2 + x^4 + 4x^2 = 1 + 2x^2 + x^4 \] এবং, \[ 2 + 2x^2 = 2(1 + x^2) \] অতএব, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2(1 + x^2)}{1 + 2x^2 + x^4} \] উপসংহার: \[ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1 + x^2}} \]