Another Explanation (5):
প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান:
প্রথমে দেওয়া ফাংশনগুলো হলো:
- \(f(x) = \tan^{-2}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)\)
- \(g(x) = \sin^{-1}(\sin \sqrt{x})\)
---
(i) ফাংশনের ডেরিভেটিভ \(f'(x)\) নির্ণয়
প্রথমে, ফাংশনটি লিখি:
\[
f(x) = \left[\tan\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)\right]^{-2}
\]
এটি একটি চেইন রুলের সমস্যা। সাধারণত, যদি \(f(x) = [\tan(u)]^{-2}\), তাহলে:
\[
f'(x) = -2 \cdot [\tan(u)]^{-3} \cdot \sec^2(u) \cdot u'
\]
এবং \(u = \frac{2x}{1 - x^2}\)
প্রথমে, \(u\) এর ডেরিভেটিভ:
\[
u = \frac{2x}{1 - x^2}
\]
\[
u' = \frac{(2)(1 - x^2) - 2x(-2x)}{(1 - x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2) + 4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2}
\]
তাই:
\[
f'(x) = -2 \cdot [\tan(u)]^{-3} \cdot \sec^2(u) \cdot u'
\]
\[
= -2 \cdot \frac{\sec^2(u)}{\tan^3(u)} \cdot \frac{2(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2}
\]
তবে, \(f'(x)\) এর সরল রূপে দেওয়া অপশন অনুযায়ী দেখলে, অপশনটি বলছে:
\[
f'(x) = \frac{2}{1 + x^2}
\]
যা মূলত \(\frac{d}{dx} \tan^{-2}(u)\) এর সাধারণ রূপ নয়। অতএব, এই অপশনটি সঠিক নয়।
---
(ii) গ ফাংশনের ডেরিভেটিভ \(g'(x)\) নির্ণয়
দেওয়া:
\[
g(x) = \sin^{-1}(\sin \sqrt{x})
\]
তাহলে,
\[
g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sin \sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx} \sin \sqrt{x}
\]
জানা যায়:
\[
\frac{d}{dx} \sin \sqrt{x} = \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
অতএব,
\[
g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \sqrt{x}}} \cdot \frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}
\]
এবং, \(1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta\), তাই:
\[
g'(x) = \frac{1}{|\cos \sqrt{x}|} \cdot \frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}
\]
(এখানে, \(\cos \sqrt{x}\) এর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক মানের উপর নির্ভর করে, তবে সাধারণত \(g'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}\) দেওয়া হয়।)
অতএব, অপশন (ii) অনুযায়ী, \(g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\)। যা সঠিক নয়, কারণ সঠিক ডেরিভেটিভ হলো \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)।
---
তৃতীয় অংশ: \(f'(1) = \frac{\pi}{2}\) নির্ণয়
আমরা \(f(x)\) এর ডেরিভেটিভের সাধারণ রূপ খুঁজে না পেলেও, যদি আমরা অনুমান করি যে, \(f(x)\) এর ইনভার্স ট্রান্সফর্মের জন্য, \(f'(1)\) এর মান নির্ণয় করতে পারি, তাহলে:
প্রথমে, \(f(x) = \tan^{-2}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)\)
এখন, \(x = 1\):
\[
u = \frac{2(1)}{1 - 1^2} = \frac{2}{0}
\]
যা অসীম বা অসংজ্ঞায়িত। তাই, \(f(x)\) এর ডেরিভেটিভ নির্ণয় করতে গেলে, এটি নির্দিষ্টভাবে অসংজ্ঞায়িত বা অসীম। তবে, প্রশ্নের অপশন অনুযায়ী, \(f'(1) = \frac{\pi}{2}\) বলা হয়েছে, যা সম্ভব নয় কারণ \(f'(x)\) সাধারণত একটি নির্দিষ্ট মান দেয় না।
---
উপসংহার:
- অপশন (i): \(f'(x) = \frac{2}{1 + x^2}\) ভুল, কারণ ডেরিভেটিভটি এই রকম নয়।
- অপশন (ii): \(g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\) ভুল, কারণ সঠিক ডেরিভেটিভ হলো \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)।
- অপশন (iii): \(f'(1) = \frac{\pi}{2}\) ভুল, কারণ \(f(x)\) এর ডেরিভেটিভ নির্ণয় অসম্ভব বা অসংজ্ঞায়িত at \(x=1\)।
তাই, প্রশ্নের উত্তর হলো: **"i ও iii"** ভুল। কিন্তু প্রশ্নের উত্তর হিসেবে "i ও iii" দেওয়া হয়েছে। তবে বিশ্লেষণে দেখা যায়, এই দুটি অপশনই ভুল। সম্ভবত, প্রশ্নে ভুল বা অপশনগুলো ভুল দেওয়া হয়েছে।
তবে, প্রশ্নের ভিত্তিতে, সঠিক উত্তর হবে:
উত্তর:
**"অপশন i ও iii"** ভুল। সুতরাং, এই প্রশ্নের সঠিক ব্যাখ্যায় বলতে পারি, উত্তরটি "i ও iii" নয়।
