\( y = \tan^{-1} \left( \frac{a + bx}{b - ax} \right) \) হলে, \( \frac{dy}{dx} \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = \tan^{-1} \left( \frac{a + bx}{b - ax} \right) \) হলে, \( \frac{dy}{dx} \) এর মান কী? সমাধান: প্রথমে, ধরা যাক, \[ u = \frac{a + bx}{b - ax} \] তাহলে, \[ y = \tan^{-1}(u) \] অর্থাৎ, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \] এখন, \( u \) এর জন্য ডিফারেনশিয়েশন করি: \[ u = \frac{a + bx}{b - ax} \] ফাংশনের ডিভিশন রুল অনুসারে, \[ \frac{du}{dx} = \frac{(b)(b - ax) - (a + bx)(-a)}{(b - ax)^2} \] এখানে, ডান দিকের নোট: \[ \frac{d}{dx}(a + bx) = b \] \[ \frac{d}{dx}(b - ax) = -a \] অতএব, \[ \frac{du}{dx} = \frac{b(b - ax) - (a + bx)(-a)}{(b - ax)^2} \] সরলীকরণ করি: \[ \frac{du}{dx} = \frac{b(b - ax) + a(a + bx)}{(b - ax)^2} \] বিভাজন বিস্তার করি: \[ = \frac{b^2 - abx + a^2 + abx}{(b - ax)^2} \] এখানে, \(-abx + abx = 0\), ফলে, \[ \frac{du}{dx} = \frac{b^2 + a^2}{(b - ax)^2} \] এখন, \( u^2 \) হিসাব করি: \[ u^2 = \left( \frac{a + bx}{b - ax} \right)^2 \] অর্থাৎ, \[ 1 + u^2 = 1 + \frac{(a + bx)^2}{(b - ax)^2} = \frac{(b - ax)^2 + (a + bx)^2}{(b - ax)^2} \] সুতরাং, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{(b - ax)^2}{(b - ax)^2 + (a + bx)^2} \times \frac{b^2 + a^2}{(b - ax)^2} \] \((b - ax)^2\) কেটে গেলে: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{b^2 + a^2}{(b - ax)^2 + (a + bx)^2} \] এখন, \((b - ax)^2 + (a + bx)^2\) বিস্তার করি: \[ (b - ax)^2 = b^2 - 2abx + a^2 x^2 \] \[ (a + bx)^2 = a^2 + 2abx + b^2 x^2 \] অতএব, \[ (b - ax)^2 + (a + bx)^2 = (b^2 - 2abx + a^2 x^2) + (a^2 + 2abx + b^2 x^2) \] সংমিশ্রণ করি: \[ = b^2 + a^2 + a^2 x^2 + b^2 x^2 \] \(-2abx + 2abx = 0\), ফলে, \[ = (b^2 + a^2) + (a^2 + b^2) x^2 \] \[ = (b^2 + a^2)(1 + x^2) \] অতএব, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{b^2 + a^2}{(b^2 + a^2)(1 + x^2)} = \frac{1}{1 + x^2} \] উপরে, উল্লেখিত উত্তরটি সাধারণত \( a \) ও \( b \) এর উপর নির্ভরশীল নয়। তবে, প্রশ্নের উত্তরে "প্রাপ্ত মান" হিসেবে \( \frac{ab}{x^2 + 1} \) উল্লেখ থাকলে, এটি সম্ভবত \( a \) ও \( b \) এর নির্দিষ্ট মানের জন্য বা অন্যভাবে সংযুক্ত। সাধারণত, \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{b^2 + a^2}{(b^2 + a^2)(1 + x^2)} = \frac{1}{1 + x^2} } \] তাই, চূড়ান্ত উত্তর হবে:

উত্তর:

\(\boxed{\frac{1}{1 + x^2}}\)