y = (x²​ + 1) tan^-1​x - x হলে, dy/dx =​ ? ​​​​​​​​

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \( y = (x^2 + 1) \tan^{-1} x - x \) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) কত?

সমাধান:

প্রথমে, \( y \) এর ডেরিভেটিভ বের করতে হবে। এটি দুটি অংশে বিভক্ত:

1. \( (x^2 + 1) \tan^{-1} x \)
2. \( -x \)

তাই,

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( (x^2 + 1) \tan^{-1} x \right) - \frac{d}{dx} (x) \]

প্রথম অংশের জন্য, আমরা প্রোডাক্ট রুল ব্যবহার করব:

\[ \frac{d}{dx} \left( (x^2 + 1) \tan^{-1} x \right) = \frac{d}{dx} (x^2 + 1) \cdot \tan^{-1} x + (x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx} \tan^{-1} x \]

এখানে,

\[ \frac{d}{dx} (x^2 + 1) = 2x \] এবং \[ \frac{d}{dx} \tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2} \] অতএব, \[ \frac{d}{dx} \left( (x^2 + 1) \tan^{-1} x \right) = 2x \tan^{-1} x + (x^2 + 1) \cdot \frac{1}{1 + x^2} \] এখানে, \(\frac{x^2 + 1}{1 + x^2} = 1\), তাই, \[ \frac{d}{dx} \left( (x^2 + 1) \tan^{-1} x \right) = 2x \tan^{-1} x + 1 \] অতএব, \[ \frac{dy}{dx} = \left( 2x \tan^{-1} x + 1 \right) - 1 = 2x \tan^{-1} x \] **উত্তর:** \[ \boxed{\frac{dy}{dx} = 2x \tan^{-1} x} \]