y=tan^-1" (6x)/(1-9x^2) হলে dy/dx এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( y = \tan^{-1} \left(\frac{6x}{1 - 9x^2}\right) \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) এর মান কী? সমাধান: এখানে \( y = \tan^{-1} (u) \), যেখানে \( u = \frac{6x}{1 - 9x^2} \) প্রথমে, \(\frac{dy}{dx}\) এর জন্য চেইন রুল ব্যবহার করব: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \] তাহলে প্রথমে \( u \) এর ডেরিভেট বের করি: \[ u = \frac{6x}{1 - 9x^2} \] এখানে নিউটনের রুল বা কোটারনেশনের মাধ্যমে ডেরিভেট: \[ \frac{du}{dx} = \frac{(6) \cdot (1 - 9x^2) - (6x) \cdot (-18x)}{(1 - 9x^2)^2} \] সরলীকরণ করি: \[ \frac{du}{dx} = \frac{6(1 - 9x^2) + 108x^2}{(1 - 9x^2)^2} \] \[ = \frac{6 - 54x^2 + 108x^2}{(1 - 9x^2)^2} \] \[ = \frac{6 + 54x^2}{(1 - 9x^2)^2} \] এখন, \( u^2 \) হিসাব করি: \[ u^2 = \left(\frac{6x}{1 - 9x^2}\right)^2 = \frac{36x^2}{(1 - 9x^2)^2} \] অতএব, \[ 1 + u^2 = 1 + \frac{36x^2}{(1 - 9x^2)^2} = \frac{(1 - 9x^2)^2 + 36x^2}{(1 - 9x^2)^2} \] প্রভাবশালীভাব???, numerator টি সম্প্রসারিত করি: \[ (1 - 9x^2)^2 + 36x^2 = (1 - 18x^2 + 81x^4) + 36x^2 = 1 - 18x^2 + 81x^4 + 36x^2 \] \[ = 1 + ( - 18x^2 + 36x^2) + 81x^4 = 1 + 18x^2 + 81x^4 \] এখন, সম্পূর্ণ ডেরিভেট: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{(1 - 9x^2)^2}{1 + 18x^2 + 81x^4} \cdot \frac{6 + 54x^2}{(1 - 9x^2)^2} \] \[ = \frac{6 + 54x^2}{1 + 18x^2 + 81x^4} \] উপরের আংশিক ভাগ করে, সাধারণ গুণফল: \[ = \frac{6(1 + 9x^2)}{(1 + 9x^2)^2} \] অতএব, \[ \frac{dy}{dx} = \frac{6}{1 + 9x^2} \] সুতরাং, উত্তর হলো: \(\frac{dy}{dx} = \frac{6}{1 + 9x^2}\)