x এর প্রেক্ষিতে tan^-1frac{1}{sqrt(x^2-1)} এর অন্তরক কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \(x\) এর সাপেক্ষে \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)\) এর অন্তরকলন নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, \(y = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)\) আমরা জানি, \(\tan^{-1}(x) = \cot^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)\). 🥳 সুতরাং, \(y = \cot^{-1}(\sqrt{x^2-1})\) এখন, ধরি \(x = \sec(\theta)\). তাহলে, \(\theta = \sec^{-1}(x)\). 😎 অতএব, \(y = \cot^{-1}(\sqrt{\sec^2(\theta)-1})\) \(y = \cot^{-1}(\sqrt{\tan^2(\theta)})\) \(y = \cot^{-1}(\tan(\theta))\) আমরা জানি, \(\tan(\theta) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\). 🥰 সুতরাং, \(y = \cot^{-1}\left(\cot\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right)\) \(y = \frac{\pi}{2} - \theta\) \(y = \frac{\pi}{2} - \sec^{-1}(x)\) এখন, \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই, \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{2} - \sec^{-1}(x)\right)\) \(\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\) [ যেহেতু \(\frac{d}{dx}(\sec^{-1}(x)) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\) ] অতএব, \(\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\). 🎉 সুতরাং, \(x\) এর সাপেক্ষে \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)\) এর অন্তরকলন হলো \(-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\). 💖 ```