sin^-12x এর অন্তরজ কত?

প্রশ্নের সমাধান:

আমাদের দেওয়া ফাংশন: \( y = \sin^{-1}(2x) \)

ধাপ ১: ইন্সার্ট ট্রিগোনোমেট্রিক ফাংশনের মূল সূত্র:

যদি \( y = \sin^{-1}(u) \), তবে:

\( \sin y = u \)

ধাপ ২: ডিফারেনশিয়াল নোটেশন:

প্রতিটি পার্শ্বের ডেরিভেটিভ নিন:

\( \frac{d}{dy}(\sin y) = \frac{d}{dy}(u) \)

\( \cos y \, dy = du \)

অর্থাৎ:

\( \frac{dy}{du} = \frac{1}{\cos y} \)

ধাপ ৩: \(\cos y\) এর মান নির্ণয়:

আমরা জানি, \( \sin y = 2x \), তাই:

\( \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - (2x)^2} = \sqrt{1 - 4x^2} \)

ধাপ ৪: ডেরিভেটিভের মান:

অতএব:

\( \frac{dy}{du} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4x^2}} \)

ধাপ ৫: \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয়:

আমাদের চাহিদা \( \frac{d}{dx} \sin^{-1}(2x) \), যা \( \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \), যেখানে \( u = 2x \):

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4x^2}} \times 2 = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}} \)

অতএব, উত্তর:

\( \boxed{\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}} \)