A=[[costheta,-sintheta],[sintheta,costheta]] এবং A^2=1/2[[1,-sqrt3],[sqrt3,1]] হলে, 0 এর মান কোনটি?

প্রশ্ন:

যদি \(A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\) এবং \(A^2 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix}\) হয়, তবে \(\theta\) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, \(A^2\) নির্ণয় করি:

\(A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\)

\(= \begin{bmatrix} \cos^2\theta - \sin^2\theta & -2\sin\theta\cos\theta \\ 2\sin\theta\cos\theta & \cos^2\theta - \sin^2\theta \end{bmatrix}\)

\(= \begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix}\)

প্রশ্নানুসারে, \(A^2 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix}\)

সুতরাং, \(\begin{bmatrix} \cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\)

তুলনা করে পাই,

\(\cos 2\theta = \frac{1}{2}\) এবং \(\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

আমরা জানি, \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) এবং \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

সুতরাং, \(2\theta = \frac{\pi}{3}\) অথবা \(2\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{3}\), যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা।

অতএব, \(\theta = \frac{n\pi}{2} \pm \frac{\pi}{6}\) 🤔।

এখন, যদি আমরা \(n\) এর মান \(2n\) বসাই, তাহলে,

\(\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}\) 🥳

অতএব, নির্ণেয় মান: \(n\pi \pm \frac{\pi}{6}\)