11x² + 14y²-4xy +72x-84y + 186 = 0 কী নির্দেশ করে?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

\[ 11x^2 + 14y^2 - 4xy + 72x - 84y + 186 = 0 \]

ধাপ 1: সমীকরণকে সাধারণ আকারে বিশ্লেষণ করা

সমীকরণটি দ্বিঘাতীয় রৈখিক সমীকরণের মতো দেখাচ্ছে। প্রথমে এটিকে রৈখিক রূপে লেখা যাক:

\[ 11x^2 - 4xy + 14y^2 + 72x - 84y + 186 = 0 \]

ধাপ 2: কোঅর্ডিনেট রূপান্তর

এখানে, দ্বিঘাতীয় অংশটি হল: \[ 11x^2 - 4xy + 14y^2 \] এটি একটি দ্বিঘাতীয় আকার, যাকে আংশিকভাবে রৈখিক রূপে রূপান্তর করা প্রয়োজন।

ধাপ 3: ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে দ্বিঘাতীয় আকারের নির্ণয়

দ্বিঘাতীয় টার্মগুলোকে ম্যাট্রিক্স আকারে লিখি: \[ Q = \begin{bmatrix} 11 & -2 \\ -2 & 14 \end{bmatrix} \] এবং ভেক্টর: \[ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 72 \\ -84 \end{bmatrix} \] সমীকরণটি সাধারণত: \[ \mathbf{x}^T Q \mathbf{x} + \mathbf{b}^T \mathbf{x} + c = 0 \] এখানে, \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\), এবং \(c=186\).

ধাপ 4: আকারের নির্ণয়

প্রথমে, ডিটেরমিন্যান্ট পরীক্ষা করি: \[ \det(Q) = (11)(14) - (-2)(-2) = 154 - 4 = 150 > 0 \] এবং, নিম্নতম স্বয়ংক্রিয় মান নির্ণয় করি। \[ \text{Eigenvalues:} \lambda = \frac{\text{Trace}(Q) \pm \sqrt{\text{Trace}(Q)^2 - 4 \det(Q)}}{2} \] যেখানে, \[ \text{Trace}(Q) = 11 + 14 = 25 \] এবং, \[ \sqrt{25^2 - 4 \times 150} = \sqrt{625 - 600} = \sqrt{25} = 5 \] অতএব, \[ \lambda_1 = \frac{25 + 5}{2} = 15, \quad \lambda_2 = \frac{25 - 5}{2} = 10 \] উভয়ই ধনাত্মক, অর্থাৎ এই দ্বিঘাতীয় আকারটি একটি উপবৃত্ত এর প্রতিনিধিত্ব করে।

ধাপ 5: কেন্দ্র নির্ণয় ও আকারের নিশ্চিতকরণ

উপবৃত্তের কেন্দ্র: \[ \mathbf{x}_0 = -Q^{-1} \frac{\mathbf{b}}{2} \] এবং উপবৃত্তের জনিত প্রমাণের জন্য, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, দ্বিঘাতীয় আকারের নির্দেশক মান ধনাত্মক, তাই এটি একটি উপবৃত্ত।

উপসংহার:

সমীকরণের দ্বিঘাতীয় অংশের আকার ও নির্ণয় নির্দেশ করে যে, এটি একটি উপবৃত্ত।

অতএব, উত্তর:

উপবৃত্ত