\( y = 2\sin^{-1}x \) এবং \( y = 2\cos^{-1}x \) বক্ররেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু কোনটি?

Explanation: Hints: দুই রেখা কোন বিন্দুতে ছেদ করলে ওই বিন্দুর স্থানাঙ্ক ওই রেখাগুলোর সমাধান করে পাওয়া যায়। Solve: \(y = 2\sin^{-1}x \ldots (i) \quad y = 2\cos^{-1}x \ldots (ii)\) \((i) \text{ এবং } (ii) \text{ হতে, } \sin^{-1}x = \cos^{-1}x \implies \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x \implies x = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) \[ (i) \text{ থেকে, } y = 2x = \frac{\pi}{2} \] Ans. (E) ব্যাখ্যা: উক্ত প্রব্লেম অপশন টেস্ট করেও করা যায়। উদাহরণ অপশন (a) \((- \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{\pi}{4})\) এর ক্ষেত্রে \(y = 2\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -2 \cdot \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}\)। ফলে (a) অপশন সঠিক নয়। এভাবে প্রতিটি অপশন টেস্ট করতে হবে। অপশন (e) \((\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\pi}{2})\) এর ক্ষেত্রে, \(y = 2\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{2}\) \(y = 2\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{2}\)। যা অপশনের সাথে মিলে যায়। ফলে (E) ই হবে সঠিক উত্তর।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( y = 2\sin^{-1}x \) এবং \( y = 2\cos^{-1}x \) বক্ররেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু কোনটি?

সমাধান: 🤔

আমাদের দেওয়া আছে,
\( y = 2\sin^{-1}x \) ---- (1)
এবং
\( y = 2\cos^{-1}x \) ---- (2)

যেহেতু ছেদবিন্দুতে উভয় সমীকরণের \( y \) এর মান সমান হবে, তাই আমরা লিখতে পারি:
\( 2\sin^{-1}x = 2\cos^{-1}x \)
বা, \( \sin^{-1}x = \cos^{-1}x \)

আমরা জানি, \( \sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} \) 🤩
সুতরাং, \( \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x \)
বা, \( 2\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} \)
বা, \( \sin^{-1}x = \frac{\pi}{4} \)
অতএব, \( x = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

এখন, \( x \) এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
\( y = 2\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) \)
\( y = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \)

সুতরাং, ছেদবিন্দুটি হলো \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\pi}{2}) \) 🎉

উত্তর: \( (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\pi}{2}) \) ✅

```