y=mx+c সরলরেখাটি  x²+y²=a²  বৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত কী ? 

প্রথমে সরলরেখার সমীকরণটি হলো: \( y = mx + c \)

বৃত্তের সমীকরণ: \( x^2 + y^2 = a^2 \)

সরলরেখা ও বৃত্তের স্পর্শের জন্য, তাদের সমাধান এক মাত্র হওয়া উচিত। অর্থাৎ, সূত্রে যথাযথভাবে বসালে, সমাধান একমাত্র হবে।

প্রথমে, সরলরেখার সমীকরণে \( y \) এর মান বসিয়ে:

\( x^2 + (mx + c)^2 = a^2 \)

এটি প্রসারিত করি:

\( x^2 + m^2x^2 + 2mcx + c^2 = a^2 \)

সমীকরণ গুণিতক করি:

\( (1 + m^2) x^2 + 2 mc x + (c^2 - a^2) = 0 \)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। স্পর্শের জন্য, এর ডেল্টা শূন্য হতে হবে:

\(\Delta = (2 mc)^2 - 4 (1 + m^2)(c^2 - a^2) = 0 \)

সমাধান করি:

\[
\Delta = 4 m^2 c^2 - 4 (1 + m^2)(c^2 - a^2) = 0
\]
\[
4 m^2 c^2 = 4 (1 + m^2)(c^2 - a^2)
\]
অতএব,
\[
m^2 c^2 = (1 + m^2)(c^2 - a^2)
\]

বুকমার্ক করি:

\[
m^2 c^2 = (1 + m^2) c^2 - (1 + m^2) a^2
\]
\[
m^2 c^2 - (1 + m^2) c^2 = - (1 + m^2) a^2
\]
\[
c^2 (m^2 - 1 - m^2) = - (1 + m^2) a^2
\]
\[
- c^2 = - (1 + m^2) a^2
\]
অতএব,
\[
c^2 = (1 + m^2) a^2
\]

অর্থাৎ, সরলরেখা \( y = mx + c \) বৃত্তকে স্পর্শ করতে হলে, এর \( c \) এর মান হওয়া উচিত:

\( c = \pm a \sqrt{1 + m^2} \)