ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 1: 2: 3 হলে বাহুত্রয়ের অনুপাত কত ?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 1 : 2 : 3 হলে বাহুত্রয়ের অনুপাত কত?

উত্তর:

উত্তর: 1 : √3 : 2

সমাধান:

ধরি, কোণগুলো যথাক্রমে \(A, B, C\)।

প্রদানকৃত:

\[ A : B : C = 1 : 2 : 3 \]

যেহেতু কোণগুলোর অনুপাত, তাই আমরা বলতে পারি:

\[ A = k \times 1 = k, \quad B = k \times 2 = 2k, \quad C = k \times 3 = 3k \]

ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল ১৮০°:

\[ A + B + C = 180^\circ \] \[ k + 2k + 3k = 180^\circ \] \[ 6k = 180^\circ \] \[ k = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ \]

তাই:

\[ A = 30^\circ, \quad B = 60^\circ, \quad C = 90^\circ \]

এখন, বাহুত্রের অনুপাত নির্ণয় করতে পারি।

প্রতিটি কোণের বিপরীত বাহু:

- \(a\): বিপরীত \(A=30^\circ\) - \(b\): বিপরীত \(B=60^\circ\) - \(c\): বিপরীত \(C=90^\circ\)

বাহুত্রের অনুপাত, যেখানে ধরা হয়েছে বাহুত্রের অনুপাত \(a : b : c\):

প্রতিটি বাহুর জন্য সাইন থিওরেম ব্যবহার করি:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

অর্থাৎ:

\[ a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C \]

প্রতিটি সাইন মান নির্ণয় করি:

\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin 90^\circ = 1 \]

অতএব:

\[ a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1 \]

এখন, এই অনুপাতকে সাধারণ রূপে আনতে চাই। সব অংশকে ২ দিয়ে ভাগ করি:

\[ a : b : c = \frac{1}{2} \div \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} \div \frac{1}{2} : 1 \div \frac{1}{2} \] \[ a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2 \]

অতএব,

বাহুত্রের অনুপাত হলো: 1 : √3 : 2