Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
\(f(x) = \sin 2x\)
\(g(x) = \sin^2 x\)
নিচের বিকল্পসমূহ:
i) \(g(x) = f(x)\)
ii) \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)
iii) \(\int_0^{\pi/2} f(x) dx = 1\)
উত্তর: "i, iii"
---
প্রথমে প্রতিটি অপশন বিশ্লেষণ করা যাক:
**অপশন (i):** \(g(x) = f(x)\)?
দেখা যাক,
\[
f(x) = \sin 2x
\]
\[
g(x) = \sin^2 x
\]
\(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), তাই:
\[
\sin 2x \neq \sin^2 x \quad \text{সুতরাং,} \quad g(x) \neq f(x)
\]
অর্থাৎ, অপশন (i) ভুল।
---
**অপশন (ii):** \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)?
পরীক্ষা করি,
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin^2 x}
\]
নিয়ম অনুযায়ী, \(x \to 0\), তাহলে \(\sin x \approx x\), সুতরাং:
\[
\frac{\sin 2x}{\sin^2 x} \approx \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}
\]
যখন \(x \to 0\), \(\frac{2}{x} \to \infty\), অর্থাৎ, এই সীমা অসম্পূর্ণ বা অসীম। তাই,
\[
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty \neq 0
\]
অর্থাৎ, অপশন (ii) ভুল।
---
**অপশন (iii):** \(\int_0^{\pi/2} f(x) dx = 1\)
পরীক্ষা করি,
\[
\int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx
\]
প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান:
\[
\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C
\]
অতএব,
\[
\int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_0^{\pi/2}
\]
গণনা:
\[
= -\frac{1}{2} \left( \cos (\pi) - \cos 0 \right)
\]
\[
= -\frac{1}{2} \left( -1 - 1 \right) = -\frac{1}{2} \times (-2) = 1
\]
সুতরাং, অপশন (iii) সঠিক।
---
**উপসংহার:**
অপশন (i) ভুল, অপশন (ii) ভুল, অপশন (iii) সঠিক।
উত্তর: **"iii"**। কিন্তু প্রশ্নে দেওয়া উত্তরটি "i, iii" বলে, যা ভুল। সুতরাং, সঠিক ব্যাখ্যা অনুযায়ী, শুধুমাত্র অপশন (iii) সঠিক।
---
**সম্পূর্ণ সমাধান HTML এ:**
```html
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
\(f(x) = \sin 2x\)
\(g(x) = \sin^2 x\)
নিচের বিকল্পসমূহ:
- \(g(x) = f(x)\)
- \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)
- \(\int_0^{\pi/2} f(x) dx = 1\)
উত্তর: "i, iii"
আসুন প্রতিটি অপশন বিশ্লেষণ করি:
অপশন (i):
\(g(x) = \sin^2 x\) এবং \(f(x) = \sin 2x\)।
তাহলে, \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), যা \(\sin^2 x\) এর সমান নয়।
অতএব, অপশন (i) ভুল.
অপশন (ii):
\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin^2 x}\)
প্রতিটি \(\sin x \approx x\) যখন \(x \to 0\), তাহলে:
\(\frac{\sin 2x}{\sin^2 x} \approx \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}\)
যখন \(x \to 0\), এই মান অসীম। অতএব, সীমাটি 0 নয়।
অতএব, অপশন (ii) ভুল.
অপশন (iii):
\(\int_0^{\pi/2} \sin 2x \, dx\)
সমাধান:
\(\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C\)
অতএব:
\(\left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_0^{\pi/2} = -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{2} (-1 - 1) = 1\)
অতএব, অপশন (iii) সঠিক.
উপসংহার:
অপশন (i) ভুল, অপশন (ii) ভুল, অপশন (iii) সঠিক।
সুতরাং, সঠিক উত্তর: iii.
```
