\( -2-2i \) জটিল সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের উত্তর: \( -2 - 2i \) জটিল সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট নির্ণয়

প্রথমে, জটিল সংখ্যাটির অবস্থান নির্ণয় করি। সংখ্যাটি হলো:

\[ z = -2 - 2i \]

প্রতিচিহ্নিত করি:

• রিয়াল অংশ: \( \text{Re}(z) = -2 \)
• কাল্পনিক অংশ: \( \text{Im}(z) = -2 \)

এখন, সংখ্যাটির অবস্থিতি চতুর্থাংশ নির্ণয় করতে পারি।

ধাপ ১: অক্ষাংশের কোণ নির্ণয়

আর্গুমেন্ট \( \theta \) নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে কোটাইথের কোণ (অর্থাৎ, \( \arg z \)) নির্ণয় করি।

আর্গুমেন্টের মান হয়:

\[ \theta = \arctan \left( \frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)} \right) \] তবে, এই সূত্র সরাসরি ব্যবহার করলে ভুল হতে পারে যদি সংখ্যাটি চতুর্থাংশ পরিবর্তন করে। কারণ, \(\arctan\) শুধুমাত্র প্রথম এবং তৃতীয় চতুর্থাংশের জন্য যথাযথ। তাই, আমাদের অবশ্যই চতুর্থাংশ বিবেচনা করে কোণ নির্ণয় করতে হবে।

ধাপ ২: চতুর্থাংশ নির্ণয়

প্রতিচিহ্নের অবস্থান অনুযায়ী, রিয়াল অংশটি ঋণাত্মক এবং কাল্পনিক অংশও ঋণাত্মক। ফলে, সংখ্যাটি চতুর্থ চতুর্থাংশে অবস্থিত।

ধাপ ৩: কোণের মান নির্ণয়

অর্থাৎ, চতুর্থ চতুর্থাংশের জন্য, কোণের মান হবে:

\[ \theta = \pi + \arctan \left( \frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)} \right) \] এবং, যেহেতু, \(\text{Re}(z) = -2\), \(\text{Im}(z) = -2\), তাহলে: \[ \theta = \pi + \arctan \left( \frac{-2}{-2} \right) = \pi + \arctan(1) \] এবং, \[ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \] অতএব, \[ \theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \]

উপসংহার

সুতরাং, \( -2 - 2i \) সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট হলো:

\[ \boxed{\frac{5\pi}{4}} \]

এবং, এই মানটি দিক নির্দেশ করে, যেখানে সংখ্যাটি অবস্থিত।