sin^2(π/7)+sin^2((5π)/14)+sin^2((8π)/7)+sin^2((9π)/14)= কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

প্রদত্ত সমীকরণ:

\( \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) + \sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{9\pi}{14}\right) \)

সমাধান:

প্রথমে, প্রতিটি সাইন ফাংশনের মান বিশ্লেষণ করি:

১. \(\sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right)\)

২. \(\sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right)\)

৩. \(\sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right)\)

৪. \(\sin^2\left(\frac{9\pi}{14}\right)\)

প্রথম ও তৃতীয় সমন্বয়:

\(\sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right)\) ও \(\sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right)\)

তালিকা অনুযায়ী, \(\sin(\pi - x) = \sin x\), তাই: \[ \sin\left(\frac{8\pi}{7}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{7}\right) \] অতএব: \[ \sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right) = \sin^2\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) \] সুতরাং, \[ \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{8\pi}{7}\right) = 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) \]

দ্বিতীয় ও চতুর্থ সমন্বয়:

\(\sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right)\) ও \(\sin^2\left(\frac{9\pi}{14}\right)\)

দেখা যাচ্ছে, \(\sin\left(\frac{9\pi}{14}\right) = \sin\left(\pi - \frac{5\pi}{14}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{14}\right)\), কারণ \(\sin(\pi - x) = \sin x\). অতএব, \[ \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) + \sin^2\left(\frac{9\pi}{14}\right) = 2 \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) \]

অতএব, সমীকরণটি হয়:

\[ 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + 2 \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) \] অথবা, \[ 2 \left[ \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) \right] \] এখন, এই সমানুপাতিক মানের জন্য, আমরা \(\sin^2 x + \sin^2 y\) এর মান নির্ণয় করবো যেখানে \(x = \frac{\pi}{7}\) ও \(y = \frac{5\pi}{14}\).

তিনটি সম্পর্কের মাধ্যমে সমাধান:

\[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] সুতরাং, \[ \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}{2} \] এবং, \[ \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{10\pi}{14}\right)}{2} = \frac{1 - \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)}{2} \] অতএব, \[ \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) = \frac{1 - \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)}{2} + \frac{1 - \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)}{2} \] যা সমান: \[ \frac{2 - \left[\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right)\right]}{2} \] এখন, আমরা জানি: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \] অতএব, \[ \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right) = 2 \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{7} + \frac{5\pi}{7}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{7} - \frac{5\pi}{7}}{2}\right) \] \[ = 2 \cos\left(\frac{7\pi/7}{2}\right) \cos\left(\frac{-3\pi/7}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(-\frac{3\pi}{14}\right) \] \[ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \] অতএব, \[ \cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{7}\right) = 0 \] সুতরাং, \[ \sin^2\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin^2\left(\frac{5\pi}{14}\right) = \frac{2 - 0}{2} = 1 \] অতএব, \[ 2 \times 1 = 2 \] **অর্থাৎ, প্রাথমিক সমীকরণের মান:** \[ \boxed{2} \] **উত্তর: 2**