$\int_{0}^{5} x\, dx \left( x^2 - 5x + 6 \right)$ = ?

Question

Accepted Answer

সঠিক উত্তর: $\ln{\frac{32}{243}}$। ব্যাখ্যা: Hints: $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \frac{x-a}{x+a}$  
Solve: $\int_0^5 \frac{xdx}{x^2 - 5x + 6} = \frac{1}{2} \int_0^5 \frac{(2x-5+5)dx}{x^2 - 5x + 6}$  
$$
= \frac{1}{2} \int_0^5 \frac{2x-5}{x^2 - 5x + 6} dx + \frac{1}{2} \int_0^5 \frac{5dx}{x^2 - 5x + 6}
$$  
$$
= \frac{1}{2} \big[ \ln(x^2 - 5x + 6) \big]_0^5 + \frac{5}{2} \int_0^5 \frac{dx}{\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}
$$  
$$
= \frac{1}{2} (\ln 6 - \ln 6) + \frac{5}{2} \int_0^5 \frac{dx}{\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}
$$  
$$
= \frac{5}{2} \Bigg[ \frac{1}{2 \times \frac{1}{2}} \ln \frac{x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}}{x - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}} \Bigg]_0^5
$$  
$$
= \ln \frac{32}{243}
$$  
Ans. (A)

By Calculator: ক্যালকুলেটরের ইন্টিগ্রেশন বাটনটি চেপে ফাংশনটি ইনপুট দিয়ে লিমিট 0 এবং 5 বসিয়ে সরাসরি ক্যালকুলেটরের মাধ্যমেও অংশটি করতে পারে।

\(\int_{0}^{5} x\, dx \left( x^2 - 5x + 6 \right)\) = ?