\( x^2 - 6x - 1 + k(2x+1) = 0 \) সমীকরণের মূল দুটি সমান হবে যদি k-এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমীকরণ: \( x^2 - 6x - 1 + k(2x + 1) = 0 \)

প্রথমে সমীকরণের মধ্যে কের মান অনুসারে সমীকরণকে সাধারণ রূপে রূপান্তর করি:

\( x^2 - 6x - 1 + 2kx + k = 0 \)

এখন, সমীকরণের সমানুপাতিক রূপে লেখা যাক:

\( x^2 + (-6 + 2k)x + (-1 + k) = 0 \)

একটি দ্বৈত সমীকরণের মূল সমান হলে, এর ডিটারমিন্যান্ট শূন্য হবে। ডিটারমিন্যান্টের ফর্মুলা:

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

এখানে,

• \( a = 1 \)
• \( b = -6 + 2k \)
• \( c = -1 + k \)

অতএব,

\[ \Delta = (-6 + 2k)^2 - 4 \times 1 \times (-1 + k) \]

বিবেচনা করি,

\[ (-6 + 2k)^2 = 36 - 24k + 4k^2 \]

এবং,

\[ -4 \times (-1 + k) = 4 - 4k \]

অতএব, ডিটারমিন্যান্ট:

\[ \Delta = 36 - 24k + 4k^2 + 4 - 4k = (36 + 4) + (-24k - 4k) + 4k^2 \] \[ \Delta = 40 - 28k + 4k^2 \]

মূল দুটি সমান হবে যদি, \(\Delta = 0\):

\[ 4k^2 - 28k + 40 = 0 \]

প্রতি দুইটি সমাধান পাওয়ার জন্য, এই সমীকরণের জন্য ডেসিম্যানেন্ট বা কার্লুটের সূত্র ব্যবহার করি:

\[ k = \frac{28 \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \times 4 \times 40}}{2 \times 4} \] \[ k = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 640}}{8} \] \[ k = \frac{28 \pm \sqrt{144}}{8} \] \[ k = \frac{28 \pm 12}{8} \] এখন, দুটি মান নির্ণয় করি: প্রথম: \[ k = \frac{28 + 12}{8} = \frac{40}{8} = 5 \] দ্বিতীয়: \[ k = \frac{28 - 12}{8} = \frac{16}{8} = 2 \] অতএব, সমীকরণের মূল দুটি সমান হলে, \(k\) এর মান হবে **2** বা **5**।