\( y = e^{\sqrt{x}} \) হলে, \( \frac{dy}{dx} \) এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: \( y = e^{\sqrt{x}} \) হলে, \( \frac{dy}{dx} \) এর মান কোনটি?

উত্তর: \( \frac{dy}{dx} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \)

সমাধান:

প্রথমে, আমরা দেখব যে \( y = e^{\sqrt{x}} \)। এখানে, \( u = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \)।

অতএব, \( y = e^{u} \)।

এখন, \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করতে পারি চেইন রুল ব্যবহার করে:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \)

প্রথমে, \( \frac{dy}{du} = e^{u} \)

এবং, \( u = x^{\frac{1}{2}} \) হলে, \( \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \)

অতএব,

\( \frac{dy}{dx} = e^{u} \times \frac{1}{2 \sqrt{x}} \)

উপরের \( u \)-এর মান ফিরে বসালে, আমরা পাই:

\( \frac{dy}{dx} = e^{\sqrt{x}} \times \frac{1}{2 \sqrt{x}} \)

অর্থাৎ,

\( \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}}} \)