vecP= hati+2hatj-2hatk এবং vecQ=3hati+2hatj-2sqrt3hatk ভেক্টর দুইটি এক বিন্দুতে লম্বভাবে ক্রিয়াশীল। P এর সাথে এদের লব্ধি ভেক্টরের দিক-

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, \( \vec{P} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k} \) এবং \( \vec{Q} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\sqrt{3}\hat{k} \) লব্ধি ভেক্টর, \( \vec{R} = \vec{P} + \vec{Q} \) \( \vec{R} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}) + (3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\sqrt{3}\hat{k}) \) \( \vec{R} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - (2 + 2\sqrt{3})\hat{k} \) ধরি, \( \vec{R} \) ভেক্টরটি \( \vec{P} \) এর সাথে \( \theta \) কোণ উৎপন্ন করে। তাহলে, \( \cos{\theta} = \frac{\vec{P} \cdot \vec{R}}{|\vec{P}| |\vec{R}|} \) \( \vec{P} \cdot \vec{R} = (1)(4) + (2)(4) + (-2)(-2 - 2\sqrt{3}) \) \( \vec{P} \cdot \vec{R} = 4 + 8 + 4 + 4\sqrt{3} = 16 + 4\sqrt{3} \) \( |\vec{P}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \) \( |\vec{R}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-2 - 2\sqrt{3})^2} \) \( |\vec{R}| = \sqrt{16 + 16 + 4(1 + 2\sqrt{3} + 3)} \) \( |\vec{R}| = \sqrt{32 + 4(4 + 2\sqrt{3})} \) \( |\vec{R}| = \sqrt{32 + 16 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{48 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{8(6 + \sqrt{3})} \) এখন, \( \cos{\theta} = \frac{16 + 4\sqrt{3}}{3\sqrt{48 + 8\sqrt{3}}} \) \( \cos{\theta} = \frac{4(4 + \sqrt{3})}{3\sqrt{8(6 + \sqrt{3})}} = \frac{4(4 + \sqrt{3})}{6\sqrt{2(6 + \sqrt{3})}} = \frac{2(4 + \sqrt{3})}{3\sqrt{12 + 2\sqrt{3}}} \) \( \theta = \cos^{-1} \left( \frac{16 + 4\sqrt{3}}{3\sqrt{48 + 8\sqrt{3}}} \right) \) approximate মান বের করার জন্য, \( \theta \approx 59^\circ \) অথবা অন্য ভাবে, \(\tan\theta = \frac{|\vec{Q}|\sin\alpha}{|\vec{P}|+|\vec{Q}|\cos\alpha}\) যেখানে \(\alpha\) হল \(\vec{P}\) ও \(\vec{Q}\) এর মধ্যবর্তী কোণ। যেহেতু ভেক্টর দুটি লম্বভাবে ক্রিয়াশীল, তাই \(\alpha = 90^\circ\)। অতএব, \(\cos\alpha = 0\) এবং \(\sin\alpha = 1\) সুতরাং, \(\tan\theta = \frac{|\vec{Q}|}{|\vec{P}|}\) \(|\vec{P}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3\) \(|\vec{Q}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 4 + 12} = \sqrt{25} = 5\) \(\tan\theta = \frac{5}{3}\) \(\theta = \tan^{-1}(\frac{5}{3}) \approx 59.04^\circ\) \(\theta \approx 59^\circ\) 😍