যদি A=[[1,3],[3,4]] এবং A² – kA – 5I = 0 হলে, k এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

সমাধান:

দেওয়া আছে, \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) এবং \(A^2 - kA - 5I = 0\). প্রথমে, \(A^2\) নির্ণয় করি:
\(A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+9 & 3+12 \\ 3+12 & 9+16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 15 \\ 15 & 25 \end{bmatrix}\) এখন, \(kA\) নির্ণয় করি:
\(kA = k \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k & 3k \\ 3k & 4k \end{bmatrix}\) এবং \(5I\) নির্ণয় করি:
\(5I = 5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\) এখন, \(A^2 - kA - 5I = 0\) সমীকরণে মান বসাই:
\(\begin{bmatrix} 10 & 15 \\ 15 & 25 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} k & 3k \\ 3k & 4k \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 10-k-5 & 15-3k-0 \\ 15-3k-0 & 25-4k-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 5-k & 15-3k \\ 15-3k & 20-4k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) তাহলে, আমরা পাই:
\(5 - k = 0 \implies k = 5\)
\(15 - 3k = 0 \implies 3k = 15 \implies k = 5\)
\(20 - 4k = 0 \implies 4k = 20 \implies k = 5\) সুতরাং, \(k = 5\) 🥳 ```