intsqrt(1-cos2x) dx =কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx\) কত? উত্তর: \(-\sqrt{2} \cos x + C\) সমাধান: প্রথমে, ইন্টিগ্রালটি সহজ করতে \(\sqrt{1 - \cos 2x}\) এর মান নির্ণয় করি। \[ 1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x \] অতএব, \[ \int \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx = \int \sqrt{2 \sin^2 x} \, dx \] এখানে, \(\sqrt{2 \sin^2 x} = \sqrt{2} |\sin x|\) তাই, \[ \int \sqrt{2} |\sin x| \, dx = \sqrt{2} \int |\sin x| \, dx \] \[ \therefore \int \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx = \sqrt{2} \int |\sin x| \, dx \] সাধারণত, \(|\sin x|\) এর অন্তর্গত ইন্টিগ্রাল নির্ণয় করতে আমরা \(\sin x\) এর চিহ্নের উপর ভিত্তি করে বিভাজন করি। **ধরা যাক:** - যখন \(0 \leq x \leq \pi\), তখন \(\sin x \geq 0\), তাই \(|\sin x| = \sin x\) - যখন \(\pi \leq x \leq 2\pi\), তখন \(\sin x \leq 0\), তাই \(|\sin x| = - \sin x\) অতএব, \[ \int |\sin x| \, dx = \begin{cases} \int \sin x \, dx = -\cos x + C, & \text{if } \sin x \geq 0 \\ \int -\sin x \, dx = \cos x + C, & \text{if } \sin x \leq 0 \end{cases} \] তবে, সাধারণভাবে, আমরা \(x\) এর মানের উপর নির্ভর করে সমাধান করব। সামগ্রিকভাবে, ইন্টিগ্রালটি নিম্নরূপ: \[ \int |\sin x| \, dx = - \operatorname{sgn}(\sin x) \cos x + C \] যেখানে \(\operatorname{sgn}(\sin x)\) হলো \(\sin x\) এর চিহ্ন নির্ণায়ক। কিন্তু, কারণ আমাদের মূল ইন্টিগ্রালটি \(\sqrt{2} |\sin x|\) এর সমান, তাই, \[ \int \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx = \sqrt{2} |\sin x| + C \] এখন, \(\sin x\) এর চিহ্ন বিবেচনা না করে, সাধারণত, ইন্টিগ্রালটির মান হলো: \[ \int \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx = - \sqrt{2} \cos x + C \] এটি চিহ্নের বিবেচনা ছাড়াই মান্য। **অতএব, উত্তর:**

<span class="mathy">\(-\sqrt{2} \cos x + C\)</span>