3x+y=3 এবং 3x-y=3 রেখাদ্বয় y-অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল কত বর্গএকক?

Another Explanation (5):

প্রশ্নে দেওয়া রেখাদ্বয় হলো:

\[ 3x + y = 3 \quad \text{(রেখা 1)} \]
\[ 3x - y = 3 \quad \text{(রেখা 2)} \]

এই দুই রেখার সাথে y-অক্ষেরা (যেখানে \(x=0\)) ছেদ করে।

প্রথমে, রেখা 1 এর সাথে y-অক্ষের ছেদ নির্ণয় করি:

\[ x=0 \]
\[ 3(0) + y=3 \Rightarrow y=3 \]

অর্থাৎ, রেখা 1 y-অক্ষে পয়েন্ট হলো \((0,3)\)।

রেখা 2 এর জন্য একই প্রক্রিয়া:

\[ x=0 \]
\[ 3(0) - y=3 \Rightarrow - y=3 \Rightarrow y=-3 \]

অর্থাৎ, রেখা 2 y-অক্ষে পয়েন্ট হলো \((0,-3)\)।

এখন, এই দুই রেখা y-অক্ষের সাথে ছেদ করে যেসব পয়েন্টে যায়, সেগুলি হলো:

• রেখা 1: \((0,3)\)
• রেখা 2: \((0,-3)\)

তাহলে, এই রেখাদ্বয় y-অক্ষে একটি ত্রিভুজ উৎপন্ন করে, যার শীর্ষবিন্দুগুলি হলো:

1. \((0,3)\)
2. \((0,-3)\)
3. এবং, রেখা 1 ও রেখা 2 এর ছেদ বিন্দু বের করি:

রেখা 1 ও রেখা 2 এর সমানুপাতিক সমাধান দিয়ে ছেদ বিন্দু নির্ণয় করি।

\[ 3x + y=3 \]
\[ 3x - y=3 \]

উপস্থাপন করি:
\[ 3x + y=3 \quad \text{(1)} \]
\[ 3x - y=3 \quad \text{(2)} \]

অপসারণের জন্য, (1) থেকে (2) বিয়োগ করি:

\[ (3x + y) - (3x - y) = 3 - 3 \]
\[ 3x + y - 3x + y = 0 \]
\[ 2y=0 \Rightarrow y=0 \]

মূল সমীকরণে, \( y=0 \) বসিয়ে:

\[ 3x + 0 =3 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1 \]

অতএব, রেখাদ্বয়ের ছেদ বিন্দু হলো \((1,0)\)।

তাহলে, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হলো:

• \((0,3)\)
• \((0,-3)\)
• \((1,0)\)

এখন, এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসেব করি। দ্বৈত সূত্র ব্যবহার করে:

\[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \]

প্রতিটি বিন্দু নির্ণয় করি: \[ x_1=0, \quad y_1=3 \] \[ x_2=0, \quad y_2=-3 \] \[ x_3=1, \quad y_3=0 \] প্রতিস্থাপন করি:

\[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} |0(-3 - 0) + 0(0 - 3) + 1(3 - (-3))| \]
\[ = \frac{1}{2} |0 + 0 + 1(3+3)| \]
\[ = \frac{1}{2} |6| = 3 \]

অতএব, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো \(\boxed{3}\) বর্গ একক।