\( x = \tan \sqrt{y} \) হলে, \( x = 1 \) এর জন্য \( \frac{dy}{dx} \) এর মান কত?

আমাদের দেওয়া আছে, \( x = \tan \sqrt{y} \).

আমরা \( x = 1 \) এর জন্য \( \frac{dy}{dx} \) এর মান বের করতে চাই।

প্রথমত, \( x = 1 \) হলে, \( 1 = \tan \sqrt{y} \) হবে।

আমরা জানি, \( \tan \frac{\pi}{4} = 1 \). সুতরাং, \( \sqrt{y} = \frac{\pi}{4} \).

অতএব, \( y = \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{\pi^2}{16} \).

এখন, আমরা \( x = \tan \sqrt{y} \) কে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করি।

\( \frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\tan \sqrt{y}) \)

\( 1 = \sec^2 \sqrt{y} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{y}) \)

\( 1 = \sec^2 \sqrt{y} \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} \)

সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{y}}{\sec^2 \sqrt{y}} \).

যেহেতু \( \sqrt{y} = \frac{\pi}{4} \), তাই \( \sec \sqrt{y} = \sec \frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \).

তাহলে, \( \sec^2 \sqrt{y} = (\sqrt{2})^2 = 2 \).

এখন, \( \frac{dy}{dx} \) এর মান বসিয়ে পাই,

\( \frac{dy}{dx} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} \).

অতএব, \( x = 1 \) এর জন্য \( \frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{4} \). 🎉