If y= \( \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}} \right) \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) কত?
SUSTUnit-Bউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রঅন্তরীকরণঅব্যক্ত ফাংশনের অন্তরজ (Topic Practice)SUST - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
B.
\( \frac{1}{2} \)
Explanation: Hints: প্রথমে Trigonometrical Operation করে \(\tan^{-1}\) এর ভেতরের অংশকে সরল করে তারপরে অন্তর্গতকরণ করতে হবে।
Solve: \(y = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}\right)\)
\[
= \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}} \cdot \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}\right)
\]
\[
= \tan^{-1}\left(\frac{1 + \sin x - 2\sqrt{1 + \sin x}\sqrt{1 - \sin x} + 1 - \sin x}{2\sin x}\right)
= \tan^{-1}\left(\frac{2 - 2\sqrt{1 - \sin^2 x}}{2\sin x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right)
\]
\[
= \tan^{-1} \tan\frac{x}{2} = \frac{x}{2}
\therefore \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}
\]
Another Explanation (5):
সমাধান:
y= \( \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}} \right) \)
আমরা জানি, \( 1 + \sin x = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2 \) এবং \( 1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2 \)
সুতরাং,
\( \sqrt{1 + \sin x} = \sqrt{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} = |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| \)
এবং
\( \sqrt{1 - \sin x} = \sqrt{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2} = |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| \)
যদি \( 0 < x < \frac{\pi}{2} \) হয়, তবে \( \cos \frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2} > 0 \)। সুতরাং, \( |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \) এবং \( |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} \)
অতএব,
\( y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} - (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}} \right) \)
\( y = \tan^{-1} \left( \frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}} \right) \)
\( y = \tan^{-1} \left( \frac{2 \sin \frac{x}{2}}{2 \cos \frac{x}{2}} \right) \)
\( y = \tan^{-1} \left( \tan \frac{x}{2} \right) \)
\( y = \frac{x}{2} \) 🤩
এখন, x এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই,
\( \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \) 🎉
সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \) 😎