x√(1+y)+y√(1+x)=0 হলে dy/dx এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: যদি \(x\sqrt{1+y} + y\sqrt{1+x} = 0\) হয়, তবে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রদত্ত, \(x\sqrt{1+y} + y\sqrt{1+x} = 0\)

আমরা লিখতে পারি, \(x\sqrt{1+y} = -y\sqrt{1+x}\)

উভয় দিকে বর্গ করে পাই,

\(x^2(1+y) = y^2(1+x)\)

\(x^2 + x^2y = y^2 + xy^2\)

\(x^2 - y^2 = xy^2 - x^2y\)

\((x+y)(x-y) = xy(y-x)\)

\((x+y)(x-y) = -xy(x-y)\)

যদি \(x \neq y\) হয়, তবে আমরা \(x-y\) দিয়ে ভাগ করতে পারি।

\(x+y = -xy\)

\(y + xy = -x\)

\(y(1+x) = -x\)

\(y = \frac{-x}{1+x}\)

এখন, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করি।

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{-x}{1+x}\right)\)

এখানে, আমরা \(\frac{u}{v}\) এর অন্তরকলন সূত্র ব্যবহার করব: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\)

সুতরাং,

\(\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)\frac{d}{dx}(-x) - (-x)\frac{d}{dx}(1+x)}{(1+x)^2}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (-x)(1)}{(1+x)^2}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{-1-x + x}{(1+x)^2}\)

\(\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{(1+x)^2}\)

অতএব, \(\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x)^2}\) 🥳