যদি \( xy = e^{x - y} \) হয় তবে \( \frac{dy}{dx} \) এর মান হবে?

দেওয়া আছে, \( xy = e^{x - y} \)

উভয় পক্ষে \( \ln \) নিয়ে পাই,

\( \ln(xy) = \ln(e^{x - y}) \)

\( \ln x + \ln y = (x - y) \ln e \)

\( \ln x + \ln y = x - y \) (\(\because \ln e = 1\))

এখন, \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই,

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx} \)

\( \frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{y} + 1 \right) = 1 - \frac{1}{x} \)

\( \frac{dy}{dx} \left( \frac{1 + y}{y} \right) = \frac{x - 1}{x} \)

\( \frac{dy}{dx} = \frac{y(x - 1)}{x(1 + y)} \)

আবার, \( y = x - \ln x \)

সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} = \frac{y(x - 1)}{x(1 + y)} = \frac{(x-\ln x - 1)}{x} \)

\( y = x - \ln x \) এই মান বসালে উত্তর মেলানো যাচ্ছে না। অন্যভাবে করা যাক।

\( \ln x + \ln y = x - y \) থেকে পাই, \( y + \ln y = x - \ln x \) ।

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx} \)

\( \frac{dy}{dx}(\frac{1}{y}+1) = 1 - \frac{1}{x} \)

\( \frac{dy}{dx} = \frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{y}} = \frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{y+1}{y}} = \frac{y(x-1)}{x(y+1)} \)

যেহেতু \( xy = e^{x-y} \) সুতরাং \( y = \frac{e^{x-y}}{x} \)

এখন \( \ln x + \ln y = x - y \) থেকে লেখা যায়, \( y = x - \ln x - \ln y \)

অতএব, \( \frac{dy}{dx} = \frac{y(x-1)}{x(y+1)} \)

যদি \(xy = e^{x-y}\) হয়, তবে \( \ln(xy) = x - y \), সুতরাং \( \ln x + \ln y = x - y \).

এখন উভয় পক্ষে x এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই, \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 - \frac{dy}{dx} \).

সুতরাং, \( \frac{dy}{dx} (\frac{1}{y} + 1) = 1 - \frac{1}{x} \), ফলে \( \frac{dy}{dx} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{y}} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{y}{y+1} = \frac{y(x-1)}{x(y+1)} \).

এখন \( \ln x + \ln y = x - y \) থেকে পাই \( \ln y = x - y - \ln x \), সুতরাং \( y = e^{x-y-\ln x} = \frac{e^{x-y}}{x} = \frac{xy}{x} = y \).

আমরা পাই \( \frac{dy}{dx} = \frac{y(x-1)}{x(y+1)} \)। এই পর্যন্ত উত্তর সঠিক।

প্রদত্ত উত্তরটি হল: \( \frac{dy}{dx} = \frac{\ln x}{(1 + \ln x)^2} \) ।