x^xy^x=1  হলে  dy/dx = কত?

প্রশ্ন: \(x^x y^x = 1\) হলে \(\frac{dy}{dx}\) = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, \(x^x y^x = 1\)

উভয় পক্ষে লন (ln) নিয়ে পাই,

\(ln(x^x y^x) = ln(1)\)

\(ln(x^x) + ln(y^x) = 0\)

\(x ln(x) + x ln(y) = 0\)

এখন, x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

\(\frac{d}{dx} [x ln(x) + x ln(y)] = \frac{d}{dx} [0]\)

\(\frac{d}{dx} [x ln(x)] + \frac{d}{dx} [x ln(y)] = 0\)

\([x \cdot \frac{1}{x} + ln(x) \cdot 1] + [x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + ln(y) \cdot 1] = 0\)

\(1 + ln(x) + \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + ln(y) = 0\)

\(\frac{x}{y} \frac{dy}{dx} = -[1 + ln(x) + ln(y)]\)

\(\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} [1 + ln(x) + ln(y)]\)

\(\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} [1 + ln(xy)]\)

যেহেতু \(x^x y^x = 1\), তাই \( (xy)^x = 1 \)। উভয় দিকে পাওয়ার \(1/x\) করে পাই, \(xy = 1\)। সুতরাং, \(ln(xy) = ln(1) = 0\)।

অতএ???, \(\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} [1 + 0]\)

\(\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}\)

যেহেতু, \(xy=1\) সুতরাং \(y = \frac{1}{x}\)

\(\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}\) 🥳

সুতরাং, \(\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}\) 📚