y একটি বক্ররেখা যা (0,3) বিন্দু দিয়ে যায়। যদি dy/dx = (x^2 + x + 1) হয়, তাহলে y কে x এর নিচের কোন ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা হয়?

Explanation: Hints: \(\frac{dy}{dx}\) এর ফাংশনটিকে যোগ করলেই মূল ফাংশনটি পাওয়া যাবে। Solve: \(\frac{dy}{dx}=x^2+x+1 \implies \int dy = \int (x^2+x+1)dx\) \(\implies y = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C \dots (i)\) (i) নং সমীকরণে \((0, 3)\) বিন্দুগামী হলে, \(3 = 0 + 0 + 0 + C \implies C = 3\) \(\implies y = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + 3\) Ans. (D) ব্যাখ্যা: প্রথমে \(\frac{dy}{dx}\) এর ফাংশনটিকে সমাকলিত করা হয়েছে। (যেহেতু \(y\) এর মান চাওয়া হয়েছে) এরপর সমাকলনের ধ্রুবক \(C\) এর মান বের করার জন্য বক্ররেখাটি যে বিন্দু দিয়ে গমন করে তা দিয়ে সিদ্ধ করা হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

সমাধ???ন:

আমাদের দেওয়া আছে, \( \frac{dy}{dx} = x^2 + x + 1 \)

এখন, y নির্ণয় করার জন্য আমরা উভয় পক্ষে সমাকলন করি:

\( \int \frac{dy}{dx} \, dx = \int (x^2 + x + 1) \, dx \)

\( y = \int x^2 \, dx + \int x \, dx + \int 1 \, dx \)

\( y = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C \), যেখানে C হলো সমাকলন ধ্রুবক। 🧐

আমাদের আরও বলা হয়েছে যে, বক্ররেখাটি (0, 3) বিন্দুগামী। অর্থাৎ, যখন x = 0, তখন y = 3। 🤓

সুতরাং, আমরা এই মানগুলি ব্যবহার করে C এর মান বের করতে পারি:

\( 3 = \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 0 + C \)

\( 3 = 0 + 0 + 0 + C \)

\( C = 3 \) 🎉

অতএব, y কে x এর একটি ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা হলো:

\( y = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + 3 \) ✨

```