1. tan^-1A এর ডোমেন (-∞,∞)
2. sin^-1x এর মুখ্যমানের সীমা[-pi/2,pi/2] 
3. sec^2(tan^-1(1/3))+cosec^2(tan^-1(1/2))=85/36

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান:

1. tan^-1A এর ডোমেন (-∞, ∞):

তালিকা অনুযায়ী, tan^-1 A বা arctangent A এর ডোমেন হলো সকল বাস্তব সংখ্যা A। অর্থাৎ, A ∈ (-∞, ∞)। এটি সত্য, কারণ arctangent এর ডোমেন সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য অপরিবর্তিত।

2. sin^-1x এর মুখ্যমানের সীমা -π/2, π/2:

সাধারণত, sin^-1x বা arcsin x এর মুখ্যমানের (principal value) সীমা হলো [-π/2, π/2]। এটি সঠিক।

3. sec²(tan^-1(1/3)) + cosec²(tan^-1(1/2)) = 85/36

এখন, যাচাই করি উক্ত সমীকরণটি সঠিক কি না।

প্রথমে, tan^-1(a) এর জন্য:

• যখন θ = tan^-1(a), তখন: tan θ = a

আমরা জানি: sec² θ = 1 + tan² θ

সুতরাং, sec²(tan^-1(a)) = 1 + a²

অতএব,

• sec²(tan^-1(1/3)) = 1 + (1/3)² = 1 + 1/9 = 10/9
• cosec²(tan^-1(1/2)) এর জন্য, প্রথমে cosec^-1 এর সমীকরণ ব্যবহার করি।

আমরা জানি, csc² θ = 1 + cot² θ। তবে, cot θ = 1 / tan θ।

এখানে, θ = tan^-1(1/2), তাই: cot θ = 1 / (1/2) = 2

অতএব,

cosec²(tan^-1(1/2)) = 1 + cot² θ = 1 + (2)² = 1 + 4 = 5

এখন, যোগফল:

sec^2(tan^-1(1/3)) + cosec^2(tan^-1(1/2)) = 10/9 + 5 = 10/9 + 45/9 = 55/9

তাহলে, উক্ত সমীকরণটি হয়: 55/9 ≠ 85/36

কারণ, 85/36 এর মান হল: 85/36 ≈ 2.3611

আর, 55/9 এর মান: 55/9 ≈ 6.1111

অর্থাৎ, উক্ত সমীকরণটি সত্য নয়।

সারসংক্ষেপ:

• আইটেম (i): সঠিক।
• আইটেম (ii): সঠিক।
• আইটেম (iii): ভুল।

উত্তর: "i ও ii"