\( 4x^2 - kx + 5 = 0 \) সমীকরণটির একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ হলে \( k \) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( 4x^2 - kx + 5 = 0 \) সমীকরণটির একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ হলে \( k \) এর মান কত? সমাধান: ধরা যাক, সমীকরণের দুইটি মূল হোক \( \alpha \) এবং \( \beta \)। দেয়ানো অনুযায়ী, একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ, অর্থাৎ: \[ \beta = 2\alpha \] অতএব, সমীকরণের মূলগুলো হলো \( \alpha \) এবং \( 2\alpha \)। অন্য এক পদ্ধতিতে, সমীকরণের মূলগুলো সম্পর্কিত: \[ \text{Sum of roots} \quad (\alpha + \beta) = -\frac{\text{coefficient of } x}{\text{coefficient of } x^2} = -\frac{-k}{4} = \frac{k}{4} \] \[ \text{Product of roots} \quad (\alpha \times \beta) = \frac{\text{constant term}}{\text{coefficient of } x^2} = \frac{5}{4} \] এখন, \( \beta = 2\alpha \) থাকায়, \[ \alpha + 2\alpha = 3\alpha = \frac{k}{4} \] অর্থাৎ, \[ \alpha = \frac{k}{12} \] প্রয়োগ করি মূলের গুণফল সম্পর্ক: \[ \alpha \times \beta = \alpha \times 2\alpha = 2\alpha^2 = \frac{5}{4} \] এখানে, \[ 2\left(\frac{k}{12}\right)^2 = \frac{5}{4} \] সুতরাং, \[ 2 \times \frac{k^2}{144} = \frac{5}{4} \] অথবা, \[ \frac{2k^2}{144} = \frac{5}{4} \] সরলীকরণ করি: \[ \frac{k^2}{72} = \frac{5}{4} \] দুটি-পাশে ক্রস গুণ করি: \[ k^2 = 72 \times \frac{5}{4} = 72 \times \frac{5}{4} \] \[ k^2 = 18 \times 5 = 90 \] অতএব, \[ k = \pm \sqrt{90} = \pm \sqrt{9 \times 10} = \pm 3 \sqrt{10} \] উত্তরঃ \[ \boxed{k = \pm 3 \sqrt{10}} \] প্রশ্নে মূলের দ্বিগুণ হওয়ার শর্তে, \( k \) এর মান হলো \( \pm 3 \sqrt{10} \)।