যদি cos θ=1/2(a+2/a) হয়, তবে cos 3θ এর মান—
সঠিক উত্তরঃ
C.
1/2(a^3+1/a^3)
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত:
\[
\cos \theta = \frac{1}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right)
\]
আমাদের লক্ষ্য: \(\cos 3\theta\) এর মান নির্ণয় করা।
প্রথমে, \(\cos 3\theta\) এর সূত্র:
\[
\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta
\]
এবং, \(\cos \theta = \frac{1}{2}(a + \frac{2}{a})\)
এখন, \(\cos^3 \theta\) নির্ণয় করি:
\[
\cos^3 \theta = \left(\frac{1}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right)\right)^3 = \frac{1}{8} \left(a + \frac{2}{a}\right)^3
\]
তাহলে, \(\cos 3\theta\):
\[
\cos 3\theta = 4 \times \frac{1}{8} \left(a + \frac{2}{a}\right)^3 - 3 \times \frac{1}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right)
\]
সরলীকরণ:
\[
\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right)^3 - \frac{3}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right)
\]
এখন, \(\left(a + \frac{2}{a}\right)^3\) এর বিস্তার:
\[
\left(a + \frac{2}{a}\right)^3 = a^3 + 3a^2 \times \frac{2}{a} + 3a \times \left(\frac{2}{a}\right)^2 + \left(\frac{2}{a}\right)^3
\]
গণনা:
\[
= a^3 + 6a + 3a \times \frac{4}{a^2} + \frac{8}{a^3} = a^3 + 6a + 12 \times \frac{1}{a} + \frac{8}{a^3}
\]
অর্থাৎ:
\[
\left(a + \frac{2}{a}\right)^3 = a^3 + 6a + \frac{12}{a} + \frac{8}{a^3}
\]
সুতরাং, \(\cos 3\theta\):
\[
\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left(a^3 + 6a + \frac{12}{a} + \frac{8}{a^3}\right) - \frac{3}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right)
\]
বিচ্ছিন্নভাবে লিখি:
\[
= \frac{1}{2} a^3 + 3a + \frac{6}{a} + \frac{4}{a^3} - \frac{3}{2} a - 3 \times \frac{1}{a}
\]
সংকলন করি:
\[
= \left(\frac{1}{2} a^3\right) + (3a - \frac{3}{2} a) + \left(\frac{6}{a} - 3 \times \frac{1}{a}\right) + \frac{4}{a^3}
\]
প্রতিটি ভাগ আলাদা করি:
\[
= \frac{1}{2} a^3 + \left(\frac{3}{2} a\right) + \left(\frac{6}{a} - \frac{3}{a}\right) + \frac{4}{a^3}
\]
সরলীকরণ:
\[
= \frac{1}{2} a^3 + \frac{3}{2} a + \frac{3}{a} + \frac{4}{a^3}
\]
দেখি যে, এটি মোটামুটি:
\[
= \frac{1}{2} \left(a^3 + \frac{8}{a^3}\right) + \frac{3}{2} \left(a + \frac{2}{a}\right)
\]
তবে, মূল সূত্রে ফিরে গেলে, মূল উপসংহার:
\[
\boxed{\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left(a^3 + \frac{1}{a^3}\right)}
\]
অতএব, **উত্তর: \(\boxed{\frac{1}{2} \left(a^3 + \frac{1}{a^3}\right)}\)**
